В случае больших сопротивлений колебательная система переходит в апериодический режим (13.14), в котором решение представляет собой линейную комбинацию двух затухающих со временем экспонент.
При вырождении корней характеристического уравнения реализуется т.н. критический режим, описываемый общим решением, представляющим собой линейную комбинацию стандартного экспоненциального и присоединенного решений (13.15). Критический режим соответствует наименьшему времени затухания токов в колебательном контуре.
|
|
|
(13.11) |
Дифференциальное уравнение для заряда на конденсаторе в изолированном колебательном контуре, являющееся следствием закона Ома для замкнутой цепи, и соответствующее ему характеристическое уравнение. |
|
|
(13.12) |
Решение характеристического уравнения и общее решение дифференциального уравнения для электрических колебаний в контуре. |
|
|
|
(13.13) |
Вид решения при малом затухании (затухающие колебания ). Q+ и Q- или Q0 и j - произвольные константы, определяемые из начальных условий, w - частота затухающих колебаний. |
|
|
|
(13.14) |
Вид решения при сильном затухании ( апериодический режим). |
|
|
|
(13.15) |
Критический режим. |
|
Пример 13.2. Закрытый резонатор
Оценить частоты свободный колебаний электромагнитного поля в закрытом резонаторе, изображенном на рис.13.2. и представляющем собой замкнутое пространство между двумя вставленными друг в друга “металлическими стаканами”.
Решение:
Пустое пространство между металлическими дисками, образующими днища стаканов, подобно плоскому конденсатору (13.16). Если его обкладки зарядить разноименными зарядами, по стенкам цилиндров потечет электрический ток. Пространство между стенками цилиндров в известном смысле подобно катушке с индуктивностью: при протекании по ограничивающим его стенкам тока в нем возникает магнитное поле и, следовательно, запасается энергия. Эффективную индуктивность такой катушки можно оценить из энергетических соображений (13.17). В целом система аналогична колебательному контуру, частота свободных колебаний в котором дается выражением (13.18). Полученный результат носит приближенный характер, поскольку при разряде конденсатора по его обкладкам протекают токи и магнитное поле возникает и в пространстве между днищами цилиндров. Точно так же между боковыми стенками цилиндров существует электрическое поле. Методы, позволяющие боле строго решить поставленную задачу будут рассматриваться позже.
|
|
Рис.13.2 |
Один из типов закрытых резонаторов, в котором возможны высокочастотные колебания электромагнитного поля и его эквивалентная электрическая схема. Стрелками показано соответствие между частями резонатора и элементами схемы. |
|
|
(13.16) |
Емкость конденсатора, образованного днищами стаканов. |
|
|
(13.17) |
Индуктивность боковой части резонатора. |
|
|
(13.18) |
Частота свободных колебаний в закрытом резонаторе. |
13.3. Четырехполюсники
Многие достаточно сложные электрические цепи могут рассматриваться как четырехполюсники, устройства к двум входным клеммам которых подается изменяющееся во времени по известному закону входное напряжение (входной сигнал), а с двух других клемм снимается выходное напряжение, являющееся откликом электрической схемы на сигнал на входе. Для практики важно уметь, зная устройство четырехполюсника, рассчитывать сигнал на выходе по заданному входному напряжению. С точки зрения математики четырехполюсник может рассматриваться как некоторый оператор, в результате действия которого на описывающую входной сигнал функцию получается новая функция, соответствующая напряжению на выходе (13.19).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
