Цепи переменного тока. Элементы линейных цепей. Электрические процессы в колебательном контуре, страница 4

              В случае линейных цепей, как уже отмечалось, описанная задача может быть сведена к решению неоднородной  линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Другой, практически более удобный метод расчета прохождения сигналов через линейные цепи состоит в отыскании отклика четырехполюсника на входной сигнал, изменяющийся во времени по гармоническому закону, т.е. расчету результата действия описывающего четырехполюсник оператора на гармоническую функцию. При этом линейная цепь преобразует гармонический сигнал в гармонический сигнал той же частоты, преобразуется только его амплитуда и фаза (13.20). В случае решения этой задачи выходной сигнал  может быть найден как сумма откликов линейной электрической схемы на гармонические составляющие, совокупность которых составляет входной сигал (13.21). Если решение задач разложения функции в суперпозицию гармонических и суммирования гармонических функций представляет собой чисто математическую проблему и решается с помощью прямого и обратного преобразований Фурье, то расчет отклика схемы на изменяющееся во времени по гармоническому закону входное напряжение составляет важный раздел электротехники. В рамках такого подхода электрические свойства  любого четырехполюсника  можно полностью характеризовать, задав две функции от частоты: амплитудно - частотную характеристику (зависимость от частоты модуля отношения амплитуд выходного и входного гармонических сигналов) и фазовую характеристику (зависимость от частоты сдвига фазы сигнала на выходе относительно сигнала на входе).

              Идея расчета отклика линейной цепи на гармонический сигнал состоит в том, что на всех ее элементах токи и напряжения описываются гармоническими функциями, частота изменения которых совпадает с частотой сигнала на входе. Токи и напряжения удобно записывать в воде комплексных функций так, чтобы их вещественная часть совпадала с мгновенным значением физической величины. При этом фазовый множитель удобно объединять с амплитудой сигнала, вводя тем самым комплексную амплитуду (13.22). Поскольку все комплексные токи и напряжения на каждом из элементов четырехпорлюсника содержат один и тот же экспоненциальный множитель, его для краткости записи разумно опустить. Т.о. достаточно установить соотношения только между комплексными амплитудами токов и напряжений на элементах линейных цепей. С этой целью каждому линейному элементы приписывается импеданс, определяемый как отношение комплексной амплитуды напряжения и комплексной амплитуде тока (13.23). В случае резистора импеданс оказывается вещественным, равным его омическому сопротивлению и постоянен. Импеданс конденсатора и катушки -чисто мнимые и зависят от частоты сигнала (13.24). Т.о. импеданс можно рассматривать как обобщение понятия сопротивления на случай элементов  линейных цепей переменного тока.

              Поскольку для линейных цепей переменного тока выполняются законы Кирхгофа и все слагаемые, входящие  в соответствующие выражения содержат одинаковый экспоненциальный множитель, эти законы могут быть переписаны для комплексных амплитуд и принимают вид, аналогичный соотношениям для цепей постоянного тока. При таком описании мгновенное значение любой физической величины (тока или напряжения) вычисляются в результате домножения ее комплексной амплитуды на экспоненциальный множитель вида exp(- iw t) с последующим взятием действительной части от получившегося комплексного выражения. Иногда комплексные амплитуды токов и напряжений изображают в виде векторов на комплексной плоскости. Получающиеся при этом схемы называют векторными диаграммами. Для того, чтобы по векторной диаграмме найти реальное значение той или иной отображаемой на ней физической величины, достаточно представить, что диаграмма вращается как целое в плоскости чертежа с угловой скоростью w  и найти проекцию изображающего искомую величину  вектора на горизонтальную ось.