Теория линейных цепей. Мостовая цепь. Теорема об эквивалентном генераторе. Матричная теория линейных четырёхполюсников. Физическая осуществимость цепей, страница 8

1. Цепное или каскадное соединение. При таком соединении вход второго
4 ^х-пол. подключается к выходу первого, рис. 3.20. Такое соединение 4 ^х-пол. будет всегда регулярным. Эти два 4 ^х-пол. мы можем заменить одним. Как найти элементы общей матрицы , зная матрицы  и ? Исходные уравнения: . Подставляя второе равенство в первое, получим результат. . Ответ: .

При каскадном соединении 4 ^х-пол. матрицы  перемножаются. Такое соединение 4 ^х-пол. встречается чаще всего, что и объясняет широкое использование матрицы .

2. Параллельно – параллельное соединение (или просто параллельное). Необходимость двойной терминологии возникает потому, что надо указывать как соединены входы и выходы 4 ^х-пол. При таком соединении общими (одинаковыми) переменными для обоих 4 ^х-пол. являются напряжения, рис. 3.21, поэтому удобнее всего использовать систему уравнений с матрицей . Токи в узлах суммируются. . Эти два 4 ^х-пол. тоже можно заменить одним. Если регулярность соединения не нарушается, то общая матрица . Для доказательства надо сложить левые и правые части систем уравнений. . Получим .

В общем случае такого соединения 4 ^х-пол. регулярность соединения нарушается. Отметим, не останавливаясь на доказательстве, три важных случая такого соединения, для которых регулярность имеет место. 1. Соединение уравновешенных 4 ^х-пол. 2. Соединение «треугольных» 4 ^х-пол. (фактически трехполюсников). «Треугольными» называют такие 4 ^х-пол., у которых один входной зажим и один выходной закорочены. При этом закороченные зажимы одного должны соединяться с закороченными зажимами другого, как на рис. 3.21б.
3. Соединения подобных 4 ^х-пол. У подобных 4 ^х-пол. схемы одинаковы, а величины элементов пропорциональны.

3. Последовательно – последовательное соединение (или просто последовательное), рис. 3.22. При таком соединении 4 ^х-пол. общими (одинаковыми) переменными являются токи (при условии регулярности). Напряжения на входе и выходе суммируются. Легко убедиться в том, что в данном случае при переходе к общей матрице, складываться будут элементы матриц сопротивлений. . К сожалению, регулярность имеет место только при соединении «треугольных» 4 ^х-пол., как указано на рис. 3.22б.

4. Смешанные соединения, последовательно – параллельное, рис 3.23, и параллельно – последовательное. В этом случае будут складываться элементы матриц  или  соответственно.

3.6.4.  Общая матрица.

Она используется тогда, когда токи входных зажимов (а следовательно и выходных) разные. Рассмотрим эту ситуацию очень коротко. Буквы «в» и «н» означают верхние и нижние зажимы. Ситуация и обозначения отражены на рис.  3.24. Вводят 8 переменных, 4 напряжения и 4 тока. Они связаны двумя очевидными соотношениями. . Остаётся 6 переменных. Определяют 3 напряжения и 3 тока следующим образом.  и  есть входное и выходное напряжения, как и раньше.  есть разность потенциалов между точками C и D на рис. 3.24. Потенциалы этих точек равны соответственно полусумме потенциалов входных и выходных зажимов.

 .

 .

Из общей системы уравнений контурных токов мы можем путём преобразований получить линейную систему из трёх уравнений, связывающих 6 введённых переменных. Пусть это будет система с матрицей проводимостей . , где  и  есть векторы тока и напряжения, т.е. матрицы, имеющие один столбец. Однако теперь матрица  содержит не 4, а 9 элементов. Такая система используется в общем случае, при нарушении регулярности соединений 4 ^х-пол. (если ).

Ток  введён так, что он обращается в ноль, если . Тогда последнее уравнение становится лишним. С его помощью  выражается через  и , и исключается из системы. Мы переходим к рассмотренной ранее системе с матрицей , что значительно проще.

3.6.5.  Общие формулы для параметров четырёхполюсника.

Получим теперь общие формулы для входного и выходного сопротивлений, коэффициентов передачи 4 ^х-пол. через элементы матриц. Ситуация изображена на рис. 3.14. За основу возьмём матрицу  и соответствующую систему уравнений (3.17). . . Однако здесь мы приведём сводку формул и для других элементов матриц..