Теория линейных цепей. Мостовая цепь. Теорема об эквивалентном генераторе. Матричная теория линейных четырёхполюсников. Физическая осуществимость цепей, страница 13

Общая схема такой цепи уже была изображена на рис. 3.27. Там же была приведена и матрица  для этой цепи. Найдём сначала коэффициент передачи в общем виде, для произвольных сопротивлений, а потом рассмотрим конкретные примеры. Для простоты, как и раньше, предположим, что внешняя нагрузка уже учтена и включена в , а . Тогда, полагая , из общей формулы (3.22) получим . Нам нужен только один элемент матрицы   этой цепи (выражение (3.27)). . В итоге:.                                                     (3.42)

Изображённая цепь позволяет реализовать  фильтры второго порядка НЧ, ВЧ и полосовые. Начнём с ФНЧ.

3.8.5.1.  Двухзвенный фильтр НЧ.

Схема такого фильтра представлена на рис. 3.44а. В данном примере: . Примем обозначения:  . Введём  также удобные параметры:  есть характерная частота ();  - безразмерная (относительная) частота ( получается порядка единицы в интересующей нас области частот);  - «затухание» (по аналогии с колебательным контуром). Можно показать, что для  цепей . Тогда
. (3.43) Последнее выражение, в которое входят только безразмерные параметры, получилось очень простое. . Максимальное значение  реализуется при . Полоса пропускания фильтра, определённая на уровне , находится из уравнения . Отсюда .

На практике часто используют два одинаковых звена. При этом:   . Характеристики для этого случая изображены на рис. 3.44. Двухзвенный ФНЧ оказался лучше, чем однозвенный, но не сильно. Такой путь улучшения качества не перспективен. Как мы увидим дальше, значительное улучшение качества получится, если сопротивления заменить индуктивностями, т.е. перейти к  фильтрам.

Качество  фильтров улучшается по мере уменьшения параметра . Такова общая тенденция. Минимальное значение  в рамках указанной схемы можно реализовать только в том случае, если устранить влияние второго звена на первое. Для этого между ними включают некоторое «буферное» устройство (рис. 3.44а) с большим входным сопротивлением и малым выходным (например, эмиттерный повторитель). Тогда подключение второго звена не меняет коэффициент передачи первого. При этом можно перемножать коэффициенты передачи отдельных звеньев. Для двух одинаковых звеньев будем иметь: . Характеристики для этого случая тоже представлены на рис. 3.44.

Переходные характеристики мы рассмотрим немного позже сразу для всех фильтров второго порядка.

3.8.5.2. Двухзвенный фильтр ВЧ.

В схеме фильтра НЧ, рис. 3.44а, поменяем местами сопротивления и конденсаторы. Получим ФВЧ, рис. 3.45а. Это опять идеализированная цепь. Теперь: . Постоянные времени и другие параметры вводятся так же,  как и для ФНЧ. В итоге: .  (3.44) . На рис. 3.45б приведена типичная зависимость  от частоты для одинаковых звеньев. ; . , когда . Степень полиномов в числителе и знаменателе  одинакова (результат идеализации). Фазовая характеристика ФВЧ получается путём сдвига фазовой характеристики ФНЧ, рис. 3.44в, на  вверх.

Коэффициент прямоугольности для ФВЧ надо вводить иначе. Старое определение не годится, поскольку полоса пропускания бесконечна. Можно определить . Для рассмотренного примера получим 0,14 ().

Отметим интересное обстоятельство. Приведённое выражение (3.44) можно получить из аналогичного для ФНЧ, выражение (3.43), заменив  на . Эту операцию называют частотной трансформацией.

3.8.5.3. Полосовые  фильтры второго порядка.

Такие фильтры получаются, если сделать комбинацию из дифференцирующей и интегрирующей цепочек. Получим два варианта ПФ, изображённые на рис. 3.46.  есть постоянная времени дифференцирующей цепи, а  - постоянная времени интегрирующей цепи. . Коэффициент передачи будет иметь одинаковый вид для обоих вариантов.

.                                                                      (3.45) Как и раньше, . . Незначительные различия есть только в параметре .  для первого варианта цепи, и  для второго. По-прежнему .