Пример 14.5. Плоская монохроматическая волна
При каких значениях констант k и w в вакууме может существовать электрическое поле вида E=E0 ex cos(kz-w×t)? Какое при этом существует магнитное поле? Найти вектор Пойтинга заданного электромагнитного поля.
Решение:
Для определения связи между волновым числом k и частотой w достаточно подставить заданное выражение для электрического поля в уравнение д/ Аламбера (14.33). Полученное соотношение (14.35) согласуется с общим видом решения одномерного уравнения (14.34).
Соответствующее заданному электрическому магнитное поле удобно искать, используя уравнение Максвелла для ротора Е (14.36). По найденным электрическому и магнитному полям определяется вектор Пойтинга (14.37). Как видно, энергия распространяется вдоль оси х, т.е. в направлении распространения волны. Векторы электрического, магнитного полей и вектор Пойтинга взаимно перпендикулярны и составляют правую тройку. Об этом свойстве, общем для всех электромагнитных волн в пустом пространстве, говорят как о поперечности электромагнитных волн.
|
|
(14.35) |
Электрическая составляющая поля плоской монохроматической волны и связь волнового вектора с частотой. |
|
|
(14.36) |
Магнитная составляющая поля плоской монохроматической волны. |
|
|
(14.37) |
Плотность потока энергии, переносимой плоской монохроматической волной. |
Задачи для самостоятельного решения
14.1. Получите общее выражение для всех членов рядов для электрического и магнитного полей в плоском конденсаторе, через который протекает переменный ток (см. Пример 14.1).
14.2. Получите выражение для вектора Пойтинга, описывающего плотность потока электромагнитной энергии в веществе, характеризуемом константами e и m.
14.3. Заданный постоянный электрический ток протекает через сопротивление, представляющее собой однородный цилиндр известных размеров, удельная проводимость вещества которого известна. Найти вектор Пойтинга в точках на поверхности цилиндра. Показать, что поток вектора Пойтинга через боковую поверхность цилиндра равен тепловой мощности, выделяемой на этом сопротивлении..
14.4. Электрический заряд помещен в центр плоской петли с током. Что представляют собой линии вектора Пойтинга на плоскости, определяемой этой петлей?
14.5. Источник заданного косинусоидального напряжения подсоединен к нагрузке при помощи очень длинных параллельных цилиндрических проводов, диаметр которых задан. Расстояние между проводами известно. Определить мгновенное и среднее значения вектора Пойтинга в точках, расположенных посередине между проводами, далеко от их концов. Рассмотреть случаи, когда в качестве нагрузки подключено сопротивление, конденсатор, катушка.
14.6. Показать, что в двухпроводной линии с произвольным поперечным сечением параллельно расположенных проводов могут распространяться импульсы напряжения произвольной формы. Найти скорость распространения этих импульсов.
Указание: погонные емкость и индуктивность линии рассчитать, исходя из выражений для электрической и магнитной энергий, запасенных в пространстве, окружающем проводники. Учесть, что пространственное распределение модулей векторов Е и В одинаковы. Обосновать последнее утверждение.
14.7. Проанализировать случай отражения импульса напряжения от короткозамкнутого конца коаксиального кабеля.
14.8. Найти электрическое поле и вектор Пойтинга в пустом пространстве, содержащем магнитное поле, описываемое выражением B=B0 ex cos(w×t)sin(ky)
|
Соотношения, которые полезно помнить |
|
|
|
Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в веществе |
|
|
Закон сохранения электромагнитной энергии и вектор Пойтинга |
|
|
Однородное уравнение д/ Аламбера для электромагнитных волн в вакууме |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
