Система уравнений Максвелла. Гипотеза Максвелла. Ток смещения, система Максвелла для поля в веществе, страница 4

              В разделе 13.5 был рассмотрен бесконечный коаксиальный кабель и было показано, что любой мысленно выделенный его отрезок обладает емкостью и индуктивностью, пропорциональными его длине. Т.о. для такой системы могут быть введены понятия погонной емкости и погонной индуктивности как емкости и индуктивности единицы длины кабеля соответственно (14.21). Эквивалентной схемой бесконечного коаксиального кабеля является бесконечная “лестница”, составленная из бесконечно малых конденсаторов и катушек (рис. 14.1). В случае изменяющихся во времени токов и напряжений заряды соседних конденсаторов и напряжения на них могут отличаться друг от друга: наличие препятствующей росту тока индуктивности делает невозможным быстрое перетекание зарядов с одного конденсатора на другой. Применяя закон Кирхгофа к ячейки цепи, состоящей из двух соседних конденсаторов, разделенных катушкой и переходя к пределу малых расстояний, нетрудно получить уравнение в частных производных, связывающее токи и напряжения в кабеле (14.22). Второе аналогичное уравнение возникает из очевидных соображений о том, что протекающие по разным участкам кабеля токи могут отличаться друг от друга из-за заряда или разряда конденсатора (14.23). Исключая из получившейся системы уравнений в частных производных одно из неизвестных (ток или напряжение), легко получить окончательное уравнение второго порядка в частных производных (14.24), которое обычно называют волновым уравнением или однородным уравнением д^/Аламбера для одномерного случая (второе название предпочтительнее, поскольку в квантовой механике волновым уравнением называют другое соотношение).

              Решением уравнения (14.24) является произвольная функция от аргумента x ± vt , в чем  легко убедиться непосредственной подстановкой (14.25). Смысл такого решения состоит в том, что в кабеле могут распространяться импульсы напряжения и связанные с ними уравнениями (14.22) и (14.23) импульсы тока произвольной формы в двух направлениях (рис.14.2) со скоростью, определяемой свойствами диэлектрика внутри кабеля (14.26).

              Интересно, что скорость распространения сигналов в коаксиальном кабеле не зависит от его поперечных геометрических размеров. Справедливо и более сильное утверждение: импульсы токов и напряжений произвольной формы могут распространяться в любой двухпроводной линии с произвольным поперечным сечением проводников. Под двухпроводной линией понимается два параллельно расположенных бесконечных провода, поперечное сечение которых не изменяется при перемещении вдоль линии. Очевидно, что в природе и технике бесконечных двухпроводных линий не встречается. однако, решение задачи о распространении сигналов в ограниченных линиях можно построить как суперпозицию полученных решений для бесконечной линии.

Пример 14.4.  Отражение электромагнитного импульса от разомкнутого конца кабеля