Описание электромагнитных волн. Волновое уравнение для процесса в однородном изотропном диэлектрике. Плоские волны. Плотность электромагнитной энергии. Поток энергии. Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд, страница 3

                       

При рассмотрении энергетических соотношений приходится сталкиваться с произведением векторов поля. При этом следует иметь в виду, что

                       

Для гармонических полей часто важны не сами квадратичные величины, а средние за период значения этих величин. Для таких средних за период квадратичных величин можно получить удобные для использования формулы, дающие представления через комплексные амплитуды.

            Определим мощность, выделяемую на сопротивлении  при протекании по нему гармонического тока. Ток и напряжение сдвинуты по фазе на угол

            ,                

Здесь  и  - это вещественные функции. Мгновенная мощность определяется соотношением  а средняя за период  мощность, выделенная на сопротивлении дается формулой

где учтено, что .

Этот же результат можно получить при помощи формального приема. Запишем  и  в виде

                        ,                                         .

Не трудно показать, что

                       

Здесь значком  обозначена операция комплексного сопряжения

                                    .

Так как вектор Умова – Пойнтинга имеет вид , то для гармонических полей среднее за период значение его выражается формулой

                                    .

Исходя из уравнений Максвелла

                                                ,                                               (10.6)

                                                ,                                     (10.7)

получим энергетическое соотношение, в которое входило бы значение . С этой целью, считая среду изотропной, выделим вещественные и мнимые части параметров:,                , и перепишем (10.7) в виде

                                                .                       (10.8)

Умножая скалярно уравнение (10.6) на , а уравнение (10.8) на  и вычитая одно  из другого, получим

            .

Учитывая, что в левой части этого уравнения стоит , проинтегрируем уравнение по объему , после этого по теореме Гаусса – Остроградского перейдем от объемного интеграла к интегралу по поверхности , охватывающей объем . В результате получим комплексное энергетическое соотношение для гармонических полей

.

После применения операции , получим

.               (10.9)

Первое слагаемое здесь представляет средний за период поток энергии через площадь . Если , то энергия уходит из объема . Второе слагаемое при

 соответствует магнитным и электрическим потерям энергии внутри объема на нагревание среды. В принципе, возможны случаи неравновесных (активных сред), в которых . Правая часть (10.9)  - это работа сторонних сил за период на нагревание среды и на излучение электромагнитной энергии.

            Рассмотрим связь между векторами  и между векторами . Представим ,                        ,             .

При ,  имеем . С учетом представлений для комплексных амплитуд

                                                          ,

                                                         

получается связь между гармоническими полями

                                           ,

                                           .

Уравнениям

                                   

соответствует эллипс (Рис 10.1) на плоскости . За один период точка на этой плоскости пробегает по эллипсу. Потери энергии пропорциональны площади этого эллипса. В случае  векторы и эллипс вырождается в прямую линию, магнитные потери отсутствуют. Аналогичными свойствами обладают векторы  и.

10.5. Энергия поля в диспергирующих средах. Для изменения электрической и магнитной индукций  и  на величину  и  в единичном объеме необходимо затратить работу

                                                          .

В случае статических полей и в случае сред без дисперсии индукция  зависит только от поля  и через диэлектрическую проницаемость от температуры среды. В особом типе кристаллов (сегнетомагнетики) ситуация сложнее:  зависит от трех полей . Аналогичными свойствами обладает и поле . Поэтому, при постоянной температуре  является полным дифференциалом термодинамической функции  (она называется плотностью свободной энергией)

                                           .