Примеры решения задач по механике, страница 9

                                                                       (3.2.35)

Для нахождения индукционного тока I воспользуемся правилом Кирхгофа, учитывая, что падение напряжения U_L происходит на индуктивности L, а  определяется равенством (3.2.35)U_L = , то .

После решения этого дифференциального уравнения найдем закон изменения индукционного тока . На проводник DЕ с током  в магнитном поле  по закону Ампера действует сила (= const):

                                                .                             (3.2.36)

          При движении перемычки вниз магнитный поток, сцепленный с контуром АСЕD увеличивается, и согласно правилу Ленца индукционный ток течет в контуре против часовой стрелки. В этом случае сила Ампера, приложенная к проводнику DЕ направлена в сторону, противоположную оси z. Уравнение движения (3.2.34) для  перемычки DЕ в проекции на ось Oz в этом случае запишется в виде

,

или после преобразования                                      (3.2.37)

          Сила F_A, определяемая из равенства (3.2.36), всегда направлена к положению равновесия  перемычки.

          Дифференциальное уравнение (3.2.37) неоднородное, линейное с постоянными коэффициентами. Закон движения перемычки DЕ (z(t)) найдем, решив уравнение (3.2.37). Величину  обозначим , т.е.

                                                ,              (3.2.38)

Уравнение (3.2.36) приобретает вид уравнения колебаний (3.2.1):

                                                          .                                    (3.2.39)

Его решение складывается из суммы общего решения однородного  дифференциального уравнения =0 и частного решения уравнения (3.2.39):

 . В результате решение  уравнения колебаний (3.2.39) будет имеет вид                                         .                            (3.2.40)

Постоянные А и a определим из начальных условий: t = 0, z = 0. Согласно (3.2.40) 

                                                .                                  (3.2.41)

Продифференцируем выражение (3.2.40) и найдем скорость . Учтем, что при t = 0, V = 0 (по условию задачи): ;  .

Отсюда a = 0. Тогда согласно (3.2.41) . Решение  (3.2.40) запишется в виде:  .

          Таким образом в магнитном поле перемычка DЕ совершает колебания около положения равновесия , c частотой . В этом положении сила тяжести равна силе Ампера. Частота колебаний перемычки определяется выражением (3.2.38).