Примеры решения задач по механике, страница 11

          ЗАДАЧА 8. Два стальных диска диаметром D = 0,8 м и толщиной h = 0,10 м плотно насажены на стальную ось диаметром d =5 см и длиной   = 2 м (см. рис.3.2.9.). Найти период крутильных колебаний.

ДАНО:

D = 0,8 м

h = 0,10 м

d = 5 см

 = 2 м

          АНАЛИЗ. Задача на определение периода крутильных колебаний.

           РЕШЕНИЕ: Из симметрии фигуры следует, что ее недеформированное сечение располагается посередине и поэтому при решении следует рассматривать в отдельности два одинаковых крутильных маятника с длиной . Дифференциальное уравнение колебаний любого из них имеет вид:

;     ,

где  [Н×м×с2] – момент  инерции диска,  [Н×м] – коэффициент жесткости оси. Отсюда период крутильных колебаний равен  с, т.к. .

          ОТВЕТ:  с.

          ЗАДАЧА 9. Шарик радиусом r скатывается  по сферической поверхности из точки А (см. рис.3.2.10.). Определить радиус кривизны поверхности, если

АD = а, период колебаний  Т0.

ДАНО:

r

АD = а

Т0

          АНАЛИЗ. Если угол j достаточно мал, то скатывающийся шарик будет совершать гармонические колебания. Это возможно в случае, когда R>>DB, а амплитуда колебаний при этом будет достаточно мала.

         При этом дугу АВ можно считать хордой.

            РЕШЕНИЕ: Определим сначала радиус кривизны R траектории центра шарика. Будем  считать, что шарик совершает  незатухающие колебания с малой амплитудой, с периодом Т0 по закону:

                               ,                           (3.2.42)

где а = АD – амплитуда колебаний шарика, если считать, что дуга АВ близка по величине хорде. Продифференцировав (3.2.42),

                                              .                               (3.2.43)

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии, учитывая при этом, что шарик при движении по поверхности вращается вокруг собственного центра масс:

                                               ,                                      (3.2.44)

где V – линейная, w – вращательная скорости шарика; J – момент инерции шарика относительно центра масс, т.е. , где r – радиус шарика. После подстановки w и J в (3.2.44) получим  .