Стійкість нелінійних систем. Методи Ляпунова. Функції Ляпунова. Їхні основні властивості. Теореми Ляпунова, страница 3

Особливо корисно це твердження у випадку . Тоді крива  замкнута й містить усередині себе початок координат. Ми доведемо це твердження, якщо покажемо, що будь-яка неперервна крива , що виходить із початку координат  і йде до якої-небудь точки  границі квадрата (3.57) неодмінно перетне криву , якщо тільки  не перевершує деякого додатного числа . З неперервності функції  маємо, що серед її значень на границі квадрата можна знайти найбільше й найменше значення. Нехай - найменше значення функції на границі квадрата, тоді .

Виберемо значення параметра  таким, щоб . На кривій  функція   неперервна, тому на ній вона приймає всі значення, що лежать між  й . Отже, у деякій точці  кривої  ця функція прикмет і значення рівне . Але звідси маємо, що в точці  крива  перетинає криву . Аналогічно доводиться ця властивість для функції .

Наслідок 1. Якщо , то поверхня  розташована усередині поверхні , причому обидві ці поверхні не мають загальних точок.

Ознака 2. Якщо точка, що  зображує, переміщається убік зростання обумовлено-додатної функції , то фазова траєкторія цієї точки перетинає поверхню  зсередини назовні, а при русі убік убування функції  – зовні усередину (для обумовлено-від’ємної функції – навпаки).

Розглянуті властивості виконуються лише в досить малій околиці точки рівноваги (початку координат). Візьмемо на поверхні (3.62) довільну точку М и обчислимо в ній градієнт функції V:

                                             (3.63)

де - орти осей . Вектор спрямований по нормалі до поверхні (3.62) у точці  убік зростання функції , тобто зсередини поверхні назовні у випадку безперечно додатної функції й зовні усередину цієї поверхні у випадку обумовлено-від’ємної функції.

Введемо в розгляд швидкість  точки, що  зображує. З рівнянь збуреного руху (3.56) маємо, що функції  є проекціями вектора швидкості на відповідні осі . Але тоді формулу (3.60), з огляду на (3.63), можна представити у вигляді

                                                                  (3.64)

Похідна дає можливість простежити за рухом точки, що зображує .

Нехай у цей момент  точка  займає певне положення на фазовій площині. Візьмемо довільну обумовлено-додатною функцію  й побудуємо поверхню , що проходить через точку .

а) якщо в розглянутому положенні точки  , то функція  убуває, а це значить, що точка, що  зображує, переходить зовні усередину  поверхні (див. наслідок 2)

б) якщо , т з (3.64) маємо, що кут між векторами  й прямій, тобто, що фазова траєкторія в розглянутому положенні точки  торкається поверхні .

в) якщо , те функція V зростає, а це значить, що точка, що зображує, переходить зсередини назовні поверхні V=C.

3.10 Теореми Ляпунова

Теорема1. Якщо диференціальні рівняння збуреного руху такі, що можна знайти знаковизнечену функцію , похідна  якої в силу цих рівнянь була б знакопостійною функцією протилежного зі знака або тотожно дорівнює нулю, то незбурений рух стійкий.

Доведення. Для гарної наочності результатів доказ проведемо для .

Виберемо довільне  й побудуємо квадрат (3.57). Потім усередині цього квадрата побудуємо криву =С. Це завжди можна зробити, тому що функція V неперервна й дорівнює нулю на початку координат. Побудуємо далі квадрат 

,                                                            (3.65)

так, щоб він лежав усередині кривій . Для визначеності покладемо, що  – обумовлено-додатня функція. Тоді в силу теореми  й , де  - значення функції  при . Тоді . З останньої нерівності й результатів попереднього параграфа маємо, що при  точка , почавши рух з будь-якої  точки квадрата (3.65), за увесь час руху не вийде за межі квадрата (3.57), звідки й витікає стійкість незбуреного руху.

Проведемо доказ у загальному випадку.

Нехай для визначеності для системи (3.56) існує знаковизначена додатна функція Ляпунова . Це не обмежує спільності міркувань, тому що множенням на (-1) знакододатні функції звертаються в знаковід’ємні й навпаки.

Позначимо через  -мірну кулю радіуса  фазового простору із центром на початку координат, а через - поверхню кулі. Нехай  на поверхні кулі при . Підберемо таке  , щоб для будь-якої точки кулі  виконувалася нерівність  при . Виберемо якусь точку  і розглянемо траєкторію , що починається в точці . Припустимо, що ця траєкторія при  виходить за межі сфери  в деякій точці ,  і покажемо, що наше допущення суперечливо.