Стійкість нелінійних систем. Методи Ляпунова. Функції Ляпунова. Їхні основні властивості. Теореми Ляпунова, страница 2

, .

Записуємо характеристичне рівняння й знаходимо характеристичні числа

, .

Тому що одне з характеристичних чисел додатне, то нульове розв'язання заданої системи нестійке.

Приклад 2: Дослідити стійкість збуреного руху

, .

Розв’язання В околиці точки спокою справедливі розкладання Маклорена: , . З огляду на розкладання, система першого наближення запишеться

або .

Записуємо характеристичне рівняння й знаходимо його корені

, , .

Так як, дійсні частини характеристичних чисел від’ємні, то нульове розв'язання нелінійної системи асимптотично стійке.

Приклад 3. Дослідити стійкість нелінійної системи

, .

Розв’язання. Система першого наближення

вирішуємо характеристичне рівняння

, , .

Тому що дійсні частини характеристичних чисел дорівнюють нулю, то в цьому випадку по рівняннях першого наближення не можна судити про стійкість нульового розв'язання нелінійної системи.

3.9 Другий метод Ляпунова. Функції Ляпунова. Їхні основні властивості

Розглянемо деякий збурений стаціонарний рух

(3.56)

де функції неперервні в області , де - деяка постійна й допускає єдине розв'язання системи (3.56) для будь-яких початкових умов й у силу стаціонарності руху не залежить явно від .

Так як аналітичне розв'язання системи (3.56), як правило, одержати неможливо, основним методом дослідження стійкості руху системи є другий (прямій) метод Ляпунова. Відповідно до цього методу введемо в розгляд дійсні функції , де - варіації, визначені в деякій околиці точки рівноваги

, (3.57)

однозначні й неперервні разом зі своїми першими частинними похідними в цій околиці й рівноваги, що звертаються в нуль у точці

. (3.58)

Введемо деякі поняття щодо цих функцій.

Означення 1. Функція називається знаковизначеною (від’ємною визначеною або додатною – визначеною), якщо вона за умови (3.57) ( - досить мале додатне число) може приймати значення тільки одного визначеного знака й звертається в нуль тільки при .

Означення 2. Функція називається знакопостійною (додатної або невід’ємної), якщо вона в області (3.57) може приймати значення тільки одного визначеного знака, але може звертатися в нуль і при .

Означення 3. Функція називається знакозмінної, якщо вона не є ні знаковизначеною, ні знакопостійною, і, отже, як би не було мало число , і може приймати в області (3.57) як додатні, так і від’ємні значення.

У теорії стійкості вивчається поведінка функції уздовж фазових траєкторій досліджуваної системи диференціальних рівнянь для того, щоб на основі такого вивчення зробити висновок про стійкість і нестійкість траєкторій. Функції , що мають указане вище призначення, називають звичайно функціями Ляпунова. Розглянемо найпростіші приклади таких функцій.

Приклад 1. Розглянемо функцію . У будь-якій точці відмінної від початку координат вона приймає тільки додатні значення й звертається в нуль при . Отже, розглянута функція є додатною визначеною.

Приклад 2. Функція від’ємних значень не приймає, але в нуль звертається не тільки в точці , але й у всіх точках прямій (поверхня торкається площини по прямій ). Отже, ця функція знакопостійна (додатна), але не знаковизначена.