Дифференциальные уравнения и передаточные функции звеньев САУ. Линеаризация нелинейных статических характеристик и нелинейных уравнений. Составление и преобразование структурных схем САУ. ТАУ. Часть 1: Методические материалы и указания к практическим занятиям, страница 3

.                                 (10)

Продифференцируем полученное уравнение:

.                                  (11)

Следовательно, дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи имеет вид:

.                            (12)

Обозначив  получим:

.                                 (13)

Второй способ.

Для получения дифференциального уравнения воспользуемся операторной формой записи сопротивлений: индуктивного, емкостного , активного R, где  - символ дифференцирования.

Преобразуем электрическую цепь рисунка 1 (а) в эквивалентную схему рисунок 1 (б)

.                              (14)

Следовательно:

;                                    (15)

.                                           (16)

Передаточная функция:

.                         (17)

Подставив значения  и , получим:

 (18)

Таким образом, по определению передаточной функции

.                               (19)

Следовательно:

.                                    (20)

Пример 1.2. Найти дифференциальное уравнение и передаточную функцию мостовой схемы представленной на рисунке 2.

                            Рисунок 2.  Пассивная мостовая RC цепь

Решение. Токи плеч моста:

;                               (21)

,                             (22)

где  и .

Напряжение  определяется:

. (23)

Следовательно, дифференциальное уравнение имеет вид:

.                 (24)

Передаточная функция определяется:

.                      (25)

Пример 1.3. Определить дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока с независимым возбуждением при управлении изменением напряжения на якоре. Принять: , , .

Решение. Основное уравнение движения электропривода (второй закон Ньютона):

.                                        (26)

Поскольку , то .

Уравнение электрического равновесия для цепи якоря (второй закон Кирхгофа):

, где ;                     (27)

.                    (28)

Поделив правую и левую части уравнения на  и умножив и разделив коэффициент при  на  получим:

.                 (29)

Обозначим:

 - электромеханическая постоянная времени;

 - электромагнитная постоянная времени;

 - «просадка» скорости;

 - коэффициент передачи двигателя по напряжению.

С учетом принятых обозначений, получим:

.                         (30)

Пример 1.4. Найти дифференциальное уравнение и передаточную функцию корректирующего устройства постоянного тока с операционным усилителем представленного на рисунке 3.

Рисунок 3.  Активное корректирующее устройство

Решение. Передаточная функция корректирующего звена при  определяется:

,                                            (31)

где ,

     ,

     , , .

Следовательно, передаточная функция:

.      (32)

Дифференциальное уравнение:

,                 (33)

или

.               (34)

                              1.1 Задание к разделу 1

Задание 1.1. Найти дифференциальные уравнения и передаточные функции для представленных на рисунке 4(а-к) схемах.

                а)                                 б)                                   в)

                   

                        г)                                                            д)

                        е)                                                            ж)

                        з)                                                            и)

         к)

Рисунок 4.  Схемы для выполнения задания

2  Линеаризация нелинейных статических характеристик и нелинейных уравнений

Математическое описание динамики САУ обычно производится путем составления системы дифференциальных уравнений. В общем случае любая реальная динамическая система является нелинейной. Однако большинство непрерывных систем управления могут быть линеаризованы, т.е. заменены приближенно эквивалентными системами, переходные процессы в которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.