Графический метод и двойственность: Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий по дисциплине "Экономико-математические модели", страница 5

  3. При увеличении (уменьшении) затрат на сбыт на 1 млн. руб., при неизменных затратах на транспорт и рекламу, суммарная торговая надбавка от розничной продажи возрастет (снизится) на 1,3 млн. руб.

Задача 3.                   Задача о выборе оптимального плана
                                                производства продукции

Производственная фирма может выпускать любые из четырех видов продукции. Технологии их выпуска и рыночные цены продуктов в предстоящем временном периоде представлены в следующей таблице:

Вид продукта Вид ресурса	продукт 1	продукт 2	продукт 3	продукт 4
Сырьё (кг)	8	9	13	16
Труд (чел. -час)	17	15	9	8
Цена (руб.)	670	504	530	504

Учитывая собственные запасы и дополнительные поставки ресурсов, фирма предполагает иметь в предстоящем периоде сырье в объеме 585 кг. Трудовые ресурсы фирмы составляют 703 чел.-час.

    Требуется:

1.  Составить экономико-математическую модель расчёта оптимального плана производства продукции на данный временной период, обеспечивающего максимум выручки от реализации выпущенной продукции.

2.  Записать двойственную задачу и определить оптимальные двойственные оценки графическим способом.

3.  Используя условия дополняющей нежесткости, найти оптимальный план выпуска продукции.

4.  Найти диапазон изменения трудовых ресурсов, при котором найденный оптимальный план выпуска продукции сохраняется.

5.  Установить, насколько изменится выручка фирмы при сокращении трудовых ресурсов на 99 чел.-час. и росте на 180 чел.-час.

Решение:

1. Пусть х_j – объем продукции j-го вида (j =), который будет производиться фирмой в предстоящем временном периоде.

       Тогда исходная задача представляет собой задачу определения оптимального производственного плана выпуска продукции, обеспечивающего максимум выручки от его реализации.

Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

8х₁ + 9х₂ + 13х₃ + 16х₄  585,

17х₁ + 15х₂ + 9х₃ + 8х₄  703,

х_j  0,      j = ,

Z = 670х₁ + 504х₂ + 530х₃ + 504х₄  max.

2. Пусть u_i – двойственная или стоимостная оценка единицы i-го вида ресурса

   (i = ).  

Построим двойственную задачу:

8u₁ + 17u₂  670,         

9u₁ + 15u₂  504,         

                                                        13u₁ + 9u₂  530,           

                                                         16u₁ + 8u₂  504,           

u₁  0,     u₂  0,

W = 585u₁ + 703u₂ min.

Решим графическим методом двойственную задачу.

Выпишем уравнения граничных прямых и по две точки на этих прямых для ограничений двойственной задачи. 

1)  8u₁ + 17u₂ = 670     (3.1)                               3) 13u₁ + 9u₂ = 530     (3.3)               

     u₁     0    83,75                                                      u₁      0     40,76       

     u₂  39,4   0                                                             u₂   58,8   0

     2)  9u₁ + 15u₂ = 504     (3.2)                              4) 16u₁ + 8u₂ = 504     (3.4)

     u₁     0     56                                                           u₁     0     31,5               

     u₂  33,6   0                                                             u₂    63      0          

                   u₂

 

                 Л     С

 

               

              

 

                                       В                 

 

                                                А

                 

 

 

                    7,03                                                                                 D

                                                                                                                             u₁ 

                          5,85                                                                  (3.2)                                      

                                                                                                           (3.1)

                                    W = 0                                                    (3.3)

                                                                            (3.4)

Рисунок 4. Графическое решение двойственной задачи

Область допустимых решений лежит вверху от ломаной линии, образованной прямыми (3.1), (3.3), (3.4) и осями координат, и представляет собой бесконечный многоугольник СВАD (рисунок 4).

Пропорционально уменьшим компоненты вектора-градиента:  = (5,85; 7,03).

Построим линию уровня целевой функции вида:  585u₁ + 703u₂ = 0.

Точка минимума А целевой функции находится на пересечении прямых (3.1) и (3.3):

8u₁+17u₂ = 670,                                                                                                                  

13u₁+9u₂ = 530.                                                                                                           

Решив систему, получим оптимальное решение двойственной задачи:      

 u= 20,    u= 30,    W = 585 × 20 + 703 × 30 = 32790.

Это решение задает оптимальные двойственные оценки ресурсов для фирмы, т.е. стоимость 1 кг сырья – 20 руб., стоимость 1 чел.-час. трудоресурсов – 30 руб.,      (u= 20 руб./кг, u= 30 руб./чел.-час). 

Общая сумма затрат на использованные в данном производстве ресурсы составит 32790 руб.

3.Воспользуемся условиями дополняющей нежесткости для определения оптимального выпуска продукции X = (х₁; х₂; х₃; х₄).

Первая группа условий:                   

     х₁(8u₁+17u₂ – 670) = 0,

       х₂(9u₁+15u₂ – 504) = 0,

       х₃(13u₁+9u₂ – 530) = 0,

       х₄(16u₁+8u₂ – 504) = 0.