х1(4u1 + 4u3 – 11,8) = 0.
Для
набора 1 переменная х1 = 0, поэтому выражение в скобках может
принимать значения как равное нулю, так и больше нуля, т.е. 4u1
+ 4u3 
11,8.
Второе равенство:
х2(3u1 + 2u2 + 5u3 – 15,4) = 0.
Так как для набора 1 переменная х2 > 0, то выражение, стоящее в скобках, должно быть равно нулю и, следовательно, получаем следующее уравнение:
3u1 + 2u2 + 5u3 = 15,4.
Рассуждая аналогично, имеем систему равенств:
х2 > 0 
3u1 + 2u2
+ 5u3 = 15,4,
х5 > 0 3u1 + 4u2
+ 10u3 = 25,7,
х6 > 0 5u1 + 2u2
+ 11u3 = 26,6.
Решим полученную систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными.
Её решением будет вектор: U = (1,7; 1,9; 1,3).
Все координаты найденного вектора Uявляются неотрицательными, т.е. удовлетворяют условию (2.7) двойственной задачи: 1,7 > 0, 1,9 > 0, 1,3 > 0.
Для найденных значений переменных u1, u2, u3 неравенства (2.2), (2.5) и (2.6) выполняются как равенства.
Проверим выполнение неравенств (2.1), (2.3), (2.4):
4 
1,7
+ 4 1,3 = 12 >
11,8,
5 1,7 + 3 1,9
+ 9 1,3 = 25,9 > 25,7,
3 1,7
+ + 5 1,3 = 11,6 > 11,4.
Убеждаемся, что найденные значения удовлетворяют всем ограничениям двойственной задачи, значит U = (1,7; 1,9; 1,3) – решение, допустимое для двойственной задачи. Определим значение целевой функции двойственной задачи:
W = 795 1,7
+ 554 1,9 + 1817 1,3
= 4766,2.
Обратимся ко второму условию дополняющей нежесткости для набора 1.
Первое равенство:
u1(795 – 4х1 – 3х2 – 5х3 – 3х4 – 3х5 – 5х6 ) = 0.
Поскольку u1 = 1,7 ¹ 0, то выражение, стоящее в скобках, должно быть равно нулю, значит, 4х1 + 3х2 + 5х3 + 3х4 + 3х5 + 5х6 = 795.
Рассуждая аналогично, получим следующую систему равенств:
u1 = 1,7 ¹ 0 4х1 + 3х2 + 5х3
+ 3х4 + 3х5 + 5х6 = 795,
u2 = 1,9 ¹ 0 2х2 + 3х3 +
4х5 + 2х6 = 554,
u3 = 1,3 ¹ 0 4х1 + 5х2 +
9х3 + 5х4 + 10х5 + 11х6 = 1817.
Подставим в эту систему уравнений известные значения х1 = 0, х3 = 0, х4 = 0:
3х2 + 3х5 + 5х6 = 795,
2х2 + 4х5 + 2х6 = 554,
5х2 + 5х5 + 11х6 = 1817.
Решим систему полученных уравнений. Найдены значения: х2 = 85, х5 = 60, х6 = 72, следовательно, вектор X = (0; 85; 0; 0; 60; 72) является допустимым решением прямой задачи. Определим значение целевой функции прямой задачи:
Z =
15,4 85
+ 25,7 60 + 26,6 72
= 4766,2.
Итак, в результате анализа имеем:
1) Вектор X = (0; 85; 0; 0; 60; 72) – допустимое решение прямой задачи.
2) Вектор U = (1,7; 1,9; 1,3) – допустимое решение двойственной задачи.
3) Условия дополняющей нежесткости для векторов X и Uвыполнены.
По теореме об условиях дополняющей нежесткости вектор Xявляется оптимальным решением прямой задачи, а вектор U – оптимальным решением двойственной задачи. В качестве проверки правильности вычислений отметим, что значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают: Z = W = 4766,2.
Отсюда вывод: ассортиментный набор 1 (товар 6, товар 5, товар 2) рекомендуется торговой фирме для оптовых закупок.
Исследуем набор 2, состоящий из товара 1, товара 5 и товара 6. Это значит, что фирма планирует закупать первый, пятый и шестой товары, т.е. х1 ¹ 0, х5 ¹ 0, х6 ¹ 0.
Второй, третий и четвёртый товары закупать не планируется, поэтому х2 = 0, х3 = 0,
х4 = 0. Вектор, соответствующий этому набору, имеет вид: X *= (х1; 0; 0; 0; х5; х6).
Действия при анализе набора 2 аналогичны вышеизложенному при проверке
набора 1.
Используем первую группу условий дополняющей нежесткости.
х1 > 0 4u1 + 4u3 = 11,8,
х5 > 0 3u1 + 4u2
+ 10u3 = 25,7,
х6 > 0 5u1 + 2u2
+ 11u3 = 26,6.
Решив систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными, получаем:
u1 = 1,58, u2 = 1,815, u3 = 1,37.
Проверим, допустимы ли эти значения. Все значения неотрицательны:
1,58 > 0, 1,815 > 0, 1,37 > 0, т.е. удовлетворяют условию (2.7) двойственной задачи. Для найденных значений переменных u1, u2, u3 неравенства (2.1), (2.5) и (2.6) выполняются как равенства.
Проверим выполнение неравенств (2.2), (2.3) и (2.4).
Проверяем второе ограничение:
3u1 + 2u2 + 5u3 15,4,
31,58
+ 2 1,815 +5 1,37 = 15,22
< 15,4.
Условие не выполняется, вектор U– недопустимое решение, следовательно, вектор X не может быть оптимальным решением и, соответственно, набор 2 не входит в оптимальный план закупки товаров.
3. Рассчитанное значение целевой функции Z означает, что для получения максимальной прибыли в виде торговой надбавки для розничной продажи в размере 4766,2 млн. руб. торговая фирма должна выбрать набор 1 и купить товара 2 на сумму 85 млн. руб., товара 5 – на 60 млн. руб., товара 6 – на 72 млн. руб.
Рассчитанное значение целевой функции W означает, что для получения минимальных расходов в размере 4766,2 млн. руб. на приобретение ресурсов (в виде расходов на транспорт, рекламу и сбыт) оптимальные стоимостные оценки этих ресурсов (внутренние цены на ресурсы именно для данной фирмы) должны соответствовать оптимальным значениям u1 = 1,7 млн. руб./млн. руб., u2 = 1,815 млн. руб./млн. руб., u3 = 1,3 млн. руб./млн. руб.
Величина оптимальной двойственной оценки используемого ресурса характеризует абсолютное увеличение (снижение) оптимизируемого показателя Z в случае увеличения (снижения) объема этого ресурса на единицу (при неизменных количествах остальных ресурсов).
Для фирмы смысл найденных двойственных оценок заключается в следующем:
1. При увеличении (уменьшении) лимита затрат на транспорт на 1 млн. руб., при неизменных затратах на рекламу и сбыт, размер суммарной торговой надбавки от розничной продажи увеличится (уменьшится) на величину 1,7 млн. руб.
2. При увеличении (уменьшении) затрат на рекламу на 1 млн. руб., при неизменных затратах на транспорт и сбыт, суммарная торговая надбавка от розничной продажи увеличится (уменьшится) на 1,9 млн. руб.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.