Графический метод и двойственность: Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий по дисциплине "Экономико-математические модели", страница 3

                          Z = 0                          560                  660                 990                  1320                                                                                                                                           

                                                                                                                               (1.1)                (1.4)            (1.2″)                 

                                                                                                      (1.3)                              

          Рисунок 3. Графическое решение при увеличении производительности цеха «шасси».

Изменение прибыли составит величину:

∆ Z = Z″ – Z = 8500008 – 8000004 = 500004 руб., т.е. прибыль возрастет.  

Исследование изменений второго ограничения модели (по цеху «шасси») можно провести на одном графике.

Задача 2.         Задача об оптимальной оптовой закупке товаров

Торговой фирме необходимо сделать ассортиментный выбор из шести видов товаров для их оптовой закупки. На затраты по транспортировке закупленных товаров фирма решает выделить 7,95 млн. рублей, на рекламу – 5,54 млн. рублей, на хранение и сбыт – 18,17 млн. рублей.

В следующей таблице приведены затраты по этим статьям расходов и торговые надбавки для розничной продажи в процентах (%) к объему оптовой закупки каждого товара, измеряемой в млн. рублей, а также предлагаемые к закупке два набора товаров.

Статья	товар 1	товар 2	товар 3	товар 4	товар 5	товар 6	Лимит	Набор 1	Набор 2
Транспорт	4	3	5	3	3	5	7.95	товар 6	товар 6
Реклама	0	2	3	0	4	2	5,54	товар 5	товар 5
Сбыт	4	5	9	5	10	11	18,17	товар 2	товар 1
Надбавка	11,8	15,4	25,7	11,4	25,7	26,6

Требуется определить, по каким товарам и в каком объеме следует делать оптовые закупки, чтобы максимизировать сумму общей торговой надбавки. Для этого необходимо:

1.  Составить экономико-математическую модель расчета оптимальной оптовой закупки товаров в рамках запланированных затрат.

2.  Установить, какие из предложенных наборов товаров составляют ассортимент оптимального плана закупок, используя теорию двойственности.

3.  Дать экономическую интерпретацию оптимальным решениям прямой и двойственной задач.

Решение:

1. Пусть х_j – сумма средств (млн. руб.), выделяемых на оптовую закупку товара под номером j,или сумма оптовой закупки товара j-го вида (млн. руб.).                        

Экономико-математическая модель задачи.

  Найти вектор X  = (х₁; х₂; х₃; х₄; х₅; х₆), для которого выполняются следующие ограничения:

0,04х₁ + 0,03х₂ + 0,05х₃ + 0,03х₄ + 0,03х₅ + 0,05х₆  7,95,

                                         0,02х₂ + 0,03х₃               + 0,04х₅ + 0,02х₆  5,54 ,

 0,04х₁ + 0,05х₂ + 0,09х₃ + 0,05х₄ + 0,1х₅ + 0,11х₆   18,17,

х_j  0,  j =  ,

                   Z = 0,118х₁ + 0,154х₂ + 0,257х₃ + 0,114х₄ + 0,257х₅ + 0,266х₆  max.

В целевой функции максимизируется сумма общей торговой надбавки, получаемой при реализации товаров в розницу.

  Необходимо оценить два набора товаров и выбрать оптимальный набор для оптовых закупок товаров.

Преобразуем ограничения и целевую функцию для удобства расчетов:

4х₁ + 3х₂ + 5х₃ + 3х₄ +  3х₅  + 5х₆  795,

 2х₂ + 3х₃            +  4х₅  +  2х₆   554,

   4х₁ + 5х₂ + 9х₃ + 5х₄ + 10х₅ + 11х₆  1817,

х_j  0,    j =  ,

Z = 11,8х₁ + 15,4х₂ + 25,7х₃ + 11,4х₄ + 25,7х₅ + 26,6х₆  max.

                                        

2. Для решения задачи об оптимальной оптовой закупке товаров воспользуемся второй теоремой двойственности.         

                                       Составим двойственную задачу:

                                        4u₁                + 4u₃     11,8,                                            (2.1)

                                        3u₁ + 2u₂ + 5u₃     15,4,                                            (2.2)

                                        5u₁ + 3u₂ + 9u₃    25,7,                                             (2.3)

                                        3u₁ +          5u₃    11,4,                                             (2.4)  

                                        3u₁ + 4u₂ + 10u₃  25,7,                                             (2.5)

                                        5u₁ + 2u₂ + 11u₃  26,6,                                             (2.6)

                                          u₁  0,   u₂  0,  u₃  0,                                           (2.7)

                                      W = 795u₁ + 554u₂ + 1817u₃  min.

Исследуем набор 1, состоящий из товара 2, товара 5 и товара 6. Это значит, что фирма планирует закупать второй, пятый и шестой товары, т.е.  х₂ ¹ 0, х₅ ¹ 0, х₆ ¹ 0. 

Первый, третий и четвёртый товары закупать не планируется, поэтому х₁ = 0,
х₃ = 0, х₄ = 0. Тогда допустимый вектор X, соответствующий набору 1, имеет вид:

X= (0; x₂; 0; 0; х₅; х₆).

Воспользуемся второй теоремой двойственности (теоремой о дополняющей нежесткости).

Допустимые решения X  = (х₁; х₂; х₃; х₄; х₅; х₆) и U = (u₁; u₂; u₃ ) прямой и двойственной задач оптимальны тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия дополняющей нежесткости:

     первое условие дополняющей нежесткости

х₁ (4u₁                 + 4u₃  – 11,8) = 0,

х₂ (3u₁ + 2u₂ + 5u₃  – 15,4) = 0,

х₃ (5u₁ + 3u₂ + 9u₃ – 25,7) = 0,

х₄ (3u₁ +           5u₃ – 11,4) = 0,

х₅ (3u₁ + 4u₂ +10u₃ – 25,7) = 0,

х₆  (5u₁ + 2u₂ +11u₃ – 26,6) = 0,

     второе условие дополняющей нежесткости

u₁(795 –  4х₁ – 3х₂ – 5х₃ – 3х₄  –  3х₅  – 5х₆ ) = 0,

u₂(554            – 2х₂ – 3х₃            –  4х₅  –  2х₆ ) = 0,

u₃(1817 – 4х₁ – 5х₂ – 9х₃ – 5х₄ – 10х₅ – 11х₆ ) = 0.

Обратимся к первому условию дополняющей нежесткости.

Первое равенство: