Графический метод и двойственность: Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий по дисциплине "Экономико-математические модели", страница 2

                             

           440 

  400           А

     

 

                                                                                                                                 

                                                                                                                             х₁

                     Z = 0                          560       660                         990              1200                                                                                                                    

                                                                                                                    (1.4)            (1.2)

                                                                      (1.3)         (1.1)                                

             Рисунок 1. Графическое решение задачи о производстве автомобилей.

На рисунке 1 представлено решение задачи определения оптимальной годовой программы выпуска автомобилей.

Областью допустимых решений является пятиугольник, образованный осями координат и прямыми (1.2),  (1.1),  (1.3).

Вектор-градиент = (87; 193). Строим линию уровня вида: 8712,1х₁ + 19318,2х₂ = 0.

Точка максимума А  находится на пересечении первой и второй прямых.

Найдем ее координаты, решив систему уравнений:

2х₁ + 3х₂ = 1320,                                                                                

  х₁ + 3х₂ = 1200.                                                                                

Решением системы будет вектор  X ^* = (120; 360).

Оптимальная программа выпуска автомобилей: 120 машин типа А и 360 машин
типа В за год.

Суммарная прибыль для этого выпуска автомобилей составит:

Z = 8712,1 120 + 19318,2  360 = 8000004 (руб.).

  3. Исследуем изменения прибыли с изменением производительности цеха «шасси».

а) Если производительность цеха «шасси» снизится на 20% , т.е. станет составлять 80% от исходной производительности, то норма расхода времени по цеху «шасси» на производство автомобиля типа А будет равна 1200  0,8 = 960, а для автомобиля типа В – 400  0,8 = 320.

                  Второе ограничение примет следующий вид:

х₁ + х₂  1,

или

                                                            х₁ + 3х₂  960.                                         

Вместо прямой (1.2) появится прямая (1.2`):  х₁ + 3х₂ = 960.

Координаты точек для построения граничной прямой (1.2`):

   х₁     0   960 

   х₂    320   0

График, отражающий снижение производительности цеха «шасси» на 20% (остальные ограничения остаются без изменения), представлен на рисунке 2.

Относительно исходной прямой (1.2) прямая (1.2`) сместится ближе к началу координат.

ОДР на рисунке 2 теперь представляет четырехугольник, образованный осями координат и прямыми (1.2`) и (1.3).

Точкой максимума будет точка А` на пересечении прямых (1.2`) и (1.3):           

х₁ + 3х₂ = 960,                                                                              

х₁ +  х₂   = 560.                                                                                 

Решением этой системы является вектор X ^* = (360; 200).

     х₂

  560              

      0                           

                         

   495

  440

   

    320

                                      

                                      А`

                                    а                     560     660                      960                             990                х₁     

                                Z = 0

                                                                                 (1.1)                                    (1.4)

                                       (1.3)                                             (1.2`)    

Рисунок 2. Графическое решение при снижении производительности цеха «шасси».

Вывод: при снижении производительности цеха «шасси» на 20 % оптимальный производственный план выпуска автомобилей составит 360 машин типа А и
200 машин типа В в год.   

     Суммарная прибыль при новом условии составит:

Z` = 8712,1  360 + 19318,2  200 = 6999996 (руб.).

          Очевидно, исходная прибыль Z уменьшилась на величину: 

                                  ∆Z = Z – Z` = 8000004 – 6999996 = 1000008 (руб.).

б) Если производительность цеха «шасси» увеличится на 10% , т.е. станет 110% от исходной производительности, то второе ограничение модели преобразуется следующим образом:

х₁ + х₂  1,

или

                                                            х₁ + 3х₂   1320.

Вместо прямой (1.2) появится прямая (1.2"):  х₁ + 3х₂ = 1320.                                         

Координаты точек для построения граничной прямой (1.2"):

   х₁     0   1320

   х₂    440   0

График, отражающий увеличение производительности цеха «шасси» на 10 %, представлен на рисунке 3.

В данном случае ОДР представляет четырехугольник, образованный осями координат и прямыми (1.3) и (1.1).

Точкой максимума целевой функции будет точка  А″, образованная пересечением прямых (1.1), (1.2`) с осью ординат OX₂. Ее координаты найдем, решив систему уравнений:

х₁ + 3х₂ = 1320,            

х₁                =  0.  

  Решение системы:  X ^* = (0; 440).

Вывод: при увеличении производительности цеха «шасси» на 10 % в оптимальный  план выпуска автомобилей входит выпуск только машин типа В в количестве 440 штук.

Суммарная прибыль при этом будет равна Z" = 19318,2  440 = 8500008 (руб.).

      х₂                                    

 

                   560

          495                         

                                                                                                

          А″

 

                                                                                                           х₁