Радиоавтоматика: Учебное пособие для практических занятий, страница 6

Рис. 49.1

Задача 50

Провести оптимизацию системы (рис. 50.1) по параметру K, используя критерий минимума среднего квадрата ошибки. Воздействие х(t) = 0,2 – t, а помеха – белый шум с энергетическим спектром N0 = 0,5 Гц –1.

Рис. 50.1

Занятие 8. Показатели качества типовых

систем радиоавтоматики

Пример 21

Преобразовать структурную схему системы АРУ (рис. 21.1, a) в структурную схему следящей системы.

Рис. 21.1

Решение

Рассматривая вместо переменных U1 и U2 их отклонения относительно пороговых уровней: DU1=U1U0/k0 и DU2=U2U0, преобразуем структурную схему к виду (рис. 21.1, б). Эта система слежения за параметром DU2, а выходной переменной является оценка D этого параметра. Дискриминатор (амплитудный) формирует напряжение пропорциональное рассогласованию DU=U2–D.

Пример 22

Провести анализ устойчивости системы АРУ, полагая, что в качестве ФНЧ используется RС-фильтр с постоянной времени Т, а передаточные функции других элементов имеют вид

а)Kд(p)=kд;

б)Kд(p)=kд/(1+Tдp).

Решение

Анализ проведем на основе структурной схемы (рис. 1.15, б), используя частотный метод Найквиста (см. п. 4) и полагая  (что соответствует стационарной системе).

Передаточную функцию разомкнутой системы представим в виде:

                                           (22.1)

                                (22.2)

для вариантов (а) и (б) соответственно (K=kдkрDU1 – усиление разомкнутой системы).

Рис. 22.1

АФХ разомкнутой системы, построенные с использованием (22.1) и (22.2), представлены на рис. 22.1 (соответственно, кривые 1 и 2). Как видно из рисунка, система устойчива в обоих случаях при любых значениях K. Однако во втором случае запас устойчивости по фазе может оказаться недостаточным, так как наличие в системе других (не учтенных при анализе) инерционных звеньев (например, регулируемого усилителя или УПТ) может привести к нарушению устойчивости при большом уровне сигнала (кривая 3).

Пример 23

Для системы АПЧ, структурная схема которой изображена на рис. 23.1, выбрать требуемое усиление K=kдkрkг и постоянную времени Т из условия обеспечения заданных показателей качества: быстродействие tп<0,01с; перерегулирование e<30%; точность – не хуже 1% (статическая ошибка).

   ;

Рис. 23.1

Решение

Рассматриваемой статической системе соответствует типовая ЛАХ, представленная на рис. 23.2. Значения частот сопряжения:    (требуется определить). Наклон отдельных участков ЛАХ кратен –20дБ/дек (задан цифрами от 0 до 2).

Для обеспечения необходимого запаса устойчивости и качества переходного процесса участок ЛАХ с наклоном –20дБ/дек должен иметь протяженность не менее декады и располагаться симметрично относительно частоты среза wср.

Рис. 23.2

Значение частоты среза определим по заданному времени переходного процесса

wср.

Выберем , а частоту сопряжения , что соответствует Т=0,01c. Определяем значение ФЧХ на частоте среза

j(wcр)= –2arctg(wср/w1)+arctg(wср/w2) – arctg(wcр/w3)= –3p/4.

Запас устойчивости по фазе

j=p–|j(wср)|=p/4,

что является приемлемым. Запас по усилению не определяем, так как ФЧХ не пересекает горизонтальную линию –p (достигает ее лишь асимптотически при w®¥).

Устанавливаем связь между частотой wcр и усилением K, используя ЛАХ разомкнутой системы

20lgK– 40lg(w2/w1)–20lg(wcр/w2)=0

или   .

Отсюда находим K=(w2/w1)2(wcр/w2)=100.

Для статистической ошибки запишем (см. п. 5)

,

что удовлетворяет требованию по точности (1%).

Для определения перерегулирования рассчитаем резонансную частоту . Показатель колебательности М для АЧХ замкнутой системы определяется отношением wcр/w0: для wcр/w0=2 он составляет приблизительно 1,3 (см. лекцию 10). По виду универсальной переходной характеристики при М=1,3 находим перерегулирование e<30%, что соответствует требуемому значению.

Пример 24

Определить оптимальную шумовую полосу следящего фильтра, представленного структурной схемой на рис. 24.1, полагая, что воздействие Fд(t), возмущение dfг(t) и помеха n(t) – независимые стационарные случайные процессы cсоответственно с энергетическими спектрами

SД(w)=       Sн(w)=

Sn(w)=N0.

Решение

Представим частотную ошибку в виде

f=fД+fн+fn,

где составляющие fд, fн и fn определяют соответственно ошибки, обусловленные флуктуациями доплеровской частоты, частотным шумом подстраиваемого генератора и помехой.

Дисперсия результирующей ошибки равна сумме дисперсий ее составляющих:

Дисперсия динамической ошибки, обусловленной искажениями воздействия вследствие конечной полосы пропускания замкнутой системы, равна

                            (24.1)

где Kз(jw) – амплитудно-фазовая характеристика замкнутой системы.

На основе структурной схемы находим

                         (24.2)

где K=kдkиkг – добротность системы по скорости.

Используя (24.1) и (24.2), получаем (см.п. 5)

                                                 (24.3)

Рис. 24.1

Аналогично для дисперсии составляющей ошибки, обусловленной нестабильностью частоты ПГ, можем записать  

                                      (24.4)

Здесь учтено, что передаточные функции для ошибки по возмущению dfг и по воздействию Fд отличаются лишь знаком (квадраты АЧХ в обоих случаях одинаковы |1 –Kз(jw)|2).

Дисперсия шумовой составляющей ошибки

                                           (24.5)

где  – спектральная плотность эквивалентного частотного шума;

Fщ= K/4 – шумовая полоса замкнутой системы.

Используя (24.3) – (24.5), для дисперсии результирующей ошибки запишем

                     (24.6)