Радиоавтоматика: Учебное пособие для практических занятий, страница 5

Определить установившуюся ошибку следящей системы при воздействиях: 1) x(t)=20+2tи 2) x(t)=20+2t–0,5t2, если известна передаточная функция

            (18.1)

и заданы параметры: K=100 с–1; T1=0,1 c; T2=0,01 c.

Решение

Передаточную функцию Ke(p) преобразуем к виду

. (18.2)

Отсюда находим передаточную функцию разомкнутой системы

                         (18.3)

 Рассматриваемая система имеет первый порядок астатизма и добротность K1=K=100 с–1. Следовательно, установившаяся динамическая ошибка в первом случае равна

а во втором случае

Для нахождения коэффициента С2/2 используем уравнение (11.8) (лекция 11), которое в данном случае принимает вид

             (18.4)

где A(p)=T1T2p2+(T1+T2)p+1, а B(p)=1.      

Приравнивая коэффициенты при p2 в обеих частях уравнения, находим

или

.

Подставив значения параметров K, Т1 и Т2, получим С2/2=0,001.

Окончательно для ошибки имеем

Первая составляющая (0,019) определяет скоростную ошибку, а вторая     (–0,01t) – ошибку по ускорению. Как видим, вклад составляющей – С2/2=–0,001 действительно мал, и можно полагать, что .

Пример 19

Провести оптимизацию системы (рис. 19.1) по параметру kи при воздействии  и помехе  – белом шуме с спектральной плотностью N0 Bт /Гц.

Решение

Оптимизацию проводим в соответствии с критерием (1.106), так как воздействие детерминированное.

Рис. 19.1

Используя результаты п.п. 1.5.2, 1.5.3, для среднего квадрата ошибки (1.94) запишем

                                      (19.1)

          Шумовая полоса системы в соответствии с (1.98) равна

где

                             (19.2)

– табличный интеграл вида (1.100), а полиномы

соответствуют передаточной функции замкнутой системы Kз(p)=1/[1+p(1/K1)].

Подставив значения параметров a0=1/K1, a1=1 и b0=1 в (19.2), находим I1=K1/2.

          Шумовая полоса определяется добротностью системы по скорости K1=kдkи:

                             (19.3)

Критерий оптимизации (1.106) в данном случае принимает вид

                   (19.4)

Решая уравнение (19.4), получаем

Оптимальное значение шумовой полосы и минимально достижимую ошибку находим подстановкой  в выражение для Fш (19.3) и , (19.1):

                                         (19.5)

Анализ выражения (19.5) показывает, что оптимальное значение полосы системы определяется скоростью изменения воздействия  и интенсивностью шума N0 (уменьшается с ростом N0).     

Пример 20

Для системы, рассмотренной в примере 19, провести оптимизацию по параметру kи при условия, что воздействие х(t) – стационарный случайный процесс с нулевым средним значением и спектральной плотностью

Sx(w)=

(помеха n(t), как и ранее, белый шум со спектральной плотностью N0).

Решение

В качестве критерия оптимальности используем выражение (1.107), которое принимает вид

                    (20.1)

Дисперсию динамической ошибки находим из (12.10) (лекция 12) после подстановки в него выражений для энергетического спектра воздействия и квадрата АЧХ

Используя для Sx(w) представление в виде

Sx(w) =

дисперсию динамической ошибки выражаем через табличный интеграл:

           (20.2)

где полиномы

A2(jw)=(jw)2+(a+K1)(jw)+aK1,

B2(w)=w2.

После подстановки параметров a0=1, a1=a+K1, a2=aK1, b0=1 и b1=0 в выражение (20.2), получаем

          Дисперсия динамической ошибки

          С учетом этого выражения после решения уравнения (20.1) относительно параметра kи опт имеем

                                      (20.3)

Значения оптимальной шумовой полосы и минимально достижимой ошибки находим подстановкой k иопт в соответствующие выражения для Fш опт и . Как видно из (20.3), значение kиопт (а следовательно, Fшопт) определяется дисперсией  и шириной спектра a воздействия, а также интенсивностью шума N0.  

Задача 40

Найти установившуюся ошибку в следящей системе (рис. 40.1), полагая, что воздействие х(t) = 20+2t–0,5t2.

Рис. 40.1

Задача 41

Для системы с передаточной функцией

найти статическую ошибку, ошибку по скорости и ошибку по ускорению.

Задача 42

Для систем, ЛАХ которых представлены на рис. 42.1, а, б, в, г, найти установившуюся ошибку слежения при задающем воздействии x(t)=x0+xt+0,5xt2.

Рис. 42.1

Задача 43

Для замкнутой системы (рис. 43.1) найти шумовую полосу, а также установившуюся ошибку при задающем воздействии х(t) = 1+0,5t.

Рис. 43.1

Задача 44

Передаточная функция разомкнутой системы

Найти шумовую полосу замкнутой системы при условии, что запас устойчивости по фазе Δφ = π/4 рад.

Задача 45

Передаточная функция разомкнутой системы

Найти шумовую полосу замкнутой системы при условии, что скоростная ошибка слежения еск < 0,01% от скорости изменения параметра х.

Задача 46

Для замкнутой системы (рис. 46.1) найти шумовую полосу, а также установившуюся ошибку при задающем воздействии х(t) = 20 – t.

Рис. 46.1

Задача 47

Для замкнутой системы (рис. 47.1) определить значение параметра K0, при котором обеспечивается заданная точность: дисперсия шумовой ошибки равна квадрату установившейся статической ошибки. Задающее воздействие х(t) = 10, а спектральная плотность белого шума N0 = 0,1 Гц –1.

Рис. 47.1

Задача 48

ЛАХ разомкнутой системы имеет вид (рис. 48.1).

 


Рис. 48.1

Определить параметры системы, при которых шумовая полоса замкнутой системы равна 1Гц, а запас устойчивости по фазе Δφ > π/6 рад.

Задача 49

Провести оптимизацию системы (рис. 49.1) по параметру K, используя критерий минимума среднего квадрата ошибки. Воздействие х(t) = x0, а помеха – белый шум с энергетическим спектром N0 Гц –1.