Сущность метода проекций. Точка в системе трех плоскостей проекций. Взаимное положение прямой и точки в пространстве

Введение

В настоящее время нельзя представить работу любой отрасли народного хозяйства, а также науки и техники без чертежей. В практической деятельности, начиная с раннего детства, человек использует образный, символический язык графики, будь то точки и линии или объемные формы. На уроках черчения в школе вы изучили правила построения и оформления чертежей, научились работать чертежными инструментами, выполнять изображения от руки, использовать справочную литературу, а также читать графические изображения.

Учебная дисциплина «Начертательная геометрия» является теоретической основой построения чертежа и создает базу политехнического образования.

Изучение начертательной геометрии дает возможность грамотно владеть выразительным языком графики, способствует развитию пространственного представления и логического мышления. Совершенствуя способность человека по плоскому изображению мысленно создавать представление о форме предмета, начертательная геометрия готовит будущего учителя технологии и предпринимательства к техническому творчеству – проектированию, конструированию и моделированию, к успешному изучению технических дисциплин.

Начертательная геометрия является разделом геометрии, в котором изучаются методы изображения пространственных объектов на чертеже, алгоритмы решения позиционных и метрических задач.

В курсе «Начертательной геометрии» принято выделять:

·  позиционные задачи на положение, расположение точки, прямой линии и плоскости в пространстве;

·  метрические задачи на определение расстояний и натуральных величин прямых и геометрических фигур (плоскостей).

Для правильного и однозначного символического обозначения всех изображений на эпюре (чертеже, на котором пространственная фигура изображена методом ортогональных проекций на три плоскости) приняты условные обозначения, которые используются в данном пособии.

Условные  обозначения

1.  Точки, расположенные в пространстве, обозначают прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, D или цифрами: 1, 2, 3, 4.

2.  Прямые и кривые линии в пространстве – строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d.

3.  Углы – строчными буквами греческого алфавита: α, β, γ, δ.

4.  Поверхности – римскими цифрами: I, II, III, а также прописными буквами русского алфавита: Ц – цилиндр, К – конус, Сф – сфера.

5.  Плоскости проекции при образовании эпюра – прописной буквой греческого алфавита: П₁ – горизонтальная, П₂ – фронтальная, П₃ – профильная плоскость, П₄ и П₅, – дополнительные плоскости.

6.  Проекции точек, прямых и плоскостей – соответствующей буквой и добавлением подстрочного индекса, характеризующего плоскость проекции: на плоскости П₁ – А₁, а₁,θ₁; на плоскости П₂ – А₂ , а₂,θ₂; на плоскости П₃ – А₃ , а₃, θ₃.

7.  Особые  линии – линии  уровня:  h – горизонталь;  f – фронталь;   p – профильная прямая.

При решении задач по начертательной геометрии используется следующая символическая запись изображений:

       – точка;

( АВ ) – прямая проходит через точки А и В;

[ АВ ]  – отрезок прямой;

| AB |   – натуральная величина отрезка прямой АВ;

=         – равенство, результат операции;

||          – параллельность прямых, отрезков;

         – перпендикулярность;

         – скрещивание;

         – тождественность, совпадение;

       – прямой угол;

         – «и»;

         – «или»;

        – угол, не равный 90°;

        – следовательно;

        – пересечение;

        – объединение;

       – эквивалентность;

        – принадлежность, является (А   Р);

        – включает, содержит  (a Р);

         – треугольник;

W        – плоскость.

1.СУЩНОСТЬ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ

В основу построения любого изображения положена операция проецирования. В начертательной геометрии существуют два метода проецирования: центральное (рис.1) и параллельное (рис.2).

                                                     А                   А1                             П1

S                   B                             B1

                                                     C           D                                D1

                                                                                                   С1

Рис. 1

Центральное проецирование обладает большей наглядностью, так как оно  соответствует зрительному восприятию предметов. Этот вид проецирования широко используется в кинематографе, где аппарат является центром проецирования, пленка – множеством точек изображаемого пространства, а экран – плоскостью проекций.

S      A                                               A1              

                               B                                                    B1

                 C                                               C1

                                                                                                П1

Рис. 2

Параллельное проецирование является частным случаем центрального, когда центр проецирования удален в бесконечность. При этом проецирующие лучи параллельны и задаются на эпюре в виде направления проецирования – стрелкой S (см. рис.2).

В зависимости от направления проецирующих лучей по отношению к плоскости проекций параллельное проецирование может быть косоугольным и прямоугольным, когда проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций (рис.3).

                                S                            A

                                                                              П1

                                                    А1

· В ºВ1

Рис. 3

Прямоугольное (ортогональное) проецирование лежит в основе выполнения чертежей (эпюров). В дальнейшем будем рассматривать только этот вид проецирования.

2. ТОЧКА В СИСТЕМЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

В ряде построений и при решении задач оказывается необходимым вводить в систему П₁П₂ (горизонтальной и фронтальной плоскостей) и другие плоскости проекций. Как вы знаете из курса «Черчение», в практике составления чертежей используют три и более плоскости.

Рассмотрим введение в систему П₁ П₂ плоскости П₃, которая перпендикулярна к имеющимся и называется профильной плоскостью проекций (рис. 4). Проекции точек на эту плоскость также будут называться профильными