Несобственные интегралы. Применение основной формулы интегрального исчисления (формулы Ньютона-Лейбница)

3.  Несобственные интегралы

3.1.  Несобственные интегралы первого рода

3.1.1.  Определение несобственных интегралов первого рода

Определение 1. Пусть   непрерывна на интервале  . Если  существует предел

,                                                             (3.1)

то его называют несобственным интегралом первого рода от функции   на  интервале   и обозначают следующим образом

.                                                                 (3.2)

Таким образом,

.                                                   (3.3)

При этом, если предел (3.1) конечен, то говорят, что интеграл (3.2) сходится. Если предел (3.1) не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл (3.2) расходится. Если интеграл сходится, то говорят также, что он существует, и если он расходится, то говорят, что он не существует.

Аналогично определяются интегралы на интервале    и на интервале  :

,                                                   (3.4)

.                                (3.5)

Интеграл слева в (3.5) сходится, если сходятся оба интеграла в правой части.

Пример.

.

Таким образом, интеграл расходится при    и сходится при  .

3.1.2.  Геометрический смысл несобственных интегралов первого рода

Если  на  , то  , где   - площадь неограниченной области, заключенной между кривыми    и  .

3.2.  Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)

Определение 2. Пусть функция  непрерывна на интервале , а в точке  либо не определена, либо терпит разрыв. Точка    называется особой точкой функции  . Если существует предел

,                                                             (3.6)

то его называют несобственным интегралом второго рода от функции   на  отрезке   и обозначают следующим образом

.                                                                 (3.7)

Таким образом,

.                                                    (3.8)

Если предел (3.6) конечен, то интеграл (3.7) называют сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Аналогично определяется интеграл от   на отрезке  , если - особая точка:

.                                                   (3.9)

Если  и  - особые точки, то

,        (3.10)

где . Интеграл в левой части (3.10) сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба интеграла в правой части (оба предела конечны).

Пусть   - особая точка (), тогда

.                     (3.11)

Интеграл слева сходится, если сходится каждый из интегралов в правой части.

3.3.  Применение основной формулы интегрального исчисления (формулы Ньютона-Лейбница)

Пусть функция   непрерывна, например, в промежутке  . Тогда по определению несобственного интеграла первого рода и по формуле Ньютона-Лейбница

,                где   - первообразная функции  ,   .

Пусть функция непрерывна на ,  - особая точки функции. Тогда

,                                                            где  .

Пример.

С помощью формулы Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов можно доказать свойства, аналогичные свойствам 1-3 определенных интегралов. Также можно доказать формулу интегрирования по частям и формулу замены переменной в несобственном интеграле.

Задание. Сформулировать свойства и доказать любое из них. Сформулировать формулу интегрирования по частям и формулу замены переменной.

3.4.  Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Признак сходимости. Пусть  - особая точка функции  или .  Пусть  функция   . Тогда для сходимости несобственного интеграла   необходимо и достаточно, чтобы  существовала такая константа  , что для всех   выполнялось бы неравенство .

Аналогичный признак можно сформулировать для случая, когда  - особая точка функции   и когда .

Первый признак сравнения. Пусть

1.    - особая точка функций ,  или  .

2.   .

3.  .                                                                   (3.12)

Тогда:

a)  если интеграл    сходится, то сходится и интеграл  ;

b)  если интеграл    расходится, то расходится и интеграл  .

Второй признак сравнения. Пусть

1.   - особая точка функций ,  или  .

2.    .

3.  Существует предел

.                                                           (3.13)

Тогда:

a)  если интеграл     сходится и   , то  сходится интеграл  ;

b)  если интеграл  расходится и , то  расходится интеграл .

Следствие. При  интегралы  и  одновременно сходятся или одновременно расходятся.

В частности, если  при , то интегралы  и  одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Аналогичные признаки сравнения можно сформулировать для случая, когда  - особая точка функции   и когда .

Часто функция  сравнивается с функцией , т. к. нам известно, когда сходятся интегралы  и .

Определение. Несобственный интеграл  называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Из второго признака сравнения следует, что если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Примеры.

1.  . Подынтегральная функция . При  . Сравним функцию  с функцией . Рассмотрим . Так как расходится второй интеграл в правой части, то расходится и интеграл . Следовательно, по второму признаку сравнения получаем, что исследуемый интеграл также расходится.

2.  . Так как , то .  сходится. Следовательно, по первому признаку сравнения сходится и исследуемый интеграл.