Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

5.3.  Задача Коши

Определение. Задача нахождения решения уравнения

, удовлетворяющего условию

                                                             (5.10)

называется задачей Коши.

Условие (5.10) называется начальным условием.

Теорема Коши (о существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть  непрерывна в некоторой окрестности точки  и имеет в этой окрестности ограниченную частную производную , т.е. . Тогда в некотором интервале  существует единственное решение задачи Коши

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в том, что через каждую точку, удовлетворяющую условиям теоремы Коши, проходит только одна интегральная кривая.

5.4.  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

.                                                          (5.11)

Способ решения. Считая, что , разделим обе части уравнения (5.11) на  и умножим на :                  . Проинтегрировав обе части, получим:

.

Пример. . ; ;  .

Замечание. Уравнения с разделяющимися переменными может иметь и другой вид. Например,

5.5.  Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Функция  называется однородной степени  функцией, если для всех  выполняется равенство

.

Определение. Дифференциальное уравнение

                                                            (5.12)

называется однородным, если  однородная функция степени 0, то есть если

.

Способ решения. Сделаем в уравнении (5.12) замену :

.

Так как  однородная функция степени 0, то  и получаем уравнение , которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Проинтегрировав обе части, подставляем вместо  выражение .

Рассмотрим уравнение вида

                                                 (5.13)

Это уравнение можно привести к виду

.

Если  - однородная функция степени , а  - однородная функция степени , то

.

Следовательно, уравнение (5.13) является однородным, если , то есть если  и  являются однородными функциями одной и той же степени.

5.6.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида

                                                         (5.14)

называется линейным.

Если , то уравнение называется однородным линейным. Если , то уравнение называют неоднородными линейным.

Линейные дифференциальные уравнения можно решать с помощью метода Лагранжа или метода Бернулли.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Сначала находим решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (5.14):

.

.

Затем ищем решение неоднородного уравнения (5.14) в виде

.                                                        (5.15)

Подставляем (5.15) в уравнение (5.14):

,

.

Отсюда находим . Подставляя  в (5.15), получаем решение уравнения (5.14):

.

Пример. Решить уравнение . Воспользуемся методом Лагранжа.

1)  Найдем решение однородного уравнения

.                                                                    

Будем искать решение неоднородного уравнения в виде

.                                                            (5.16)

Подставим (5.16) в исходное уравнение: . Упрощая, получаем: . Находим отсюда функцию :

.

2)  Подставляя полученное выражение в (5.16), получаем решение исходного уравнения:

.

5.7.  Уравнение Бернулли

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

                                             (5.17)

Уравнение Бернулли решается методом Бернулли, который заключается в следующем.

Решение уравнения (5.17) ищется в виде

.                                                            (5.18)

Подставим (5.18) в уравнение (5.17):

.

В левой части вынесем за скобки, например, функцию :

                                             (5.19)

Функцию  выбираем так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю:

.                                                           (5.20)

.

Так как нас устраивает любая функция , удовлетворяющая уравнению