Описание данных. Основные понятия проверки статистических гипотез

Лекция 1

Описание данных Основные понятия проверки статистических гипотез

Методы статистики позволяют:

• доказывать правильность и обоснованность используемых методов;
• обосновывать план эксперимента;
• обобщать данные эксперимента;
• находить зависимости;
• выявлять наличие различий;
• строить статистические предсказания и др.

Пример вероятностного характера статистических выводов

Описательная статистика

• Распределение
• Вариационный ряд
• Генеральная совокупность
• Выборка
• Представительность выборки:
  • случайность выбора;
  • независимость результатов наблюдений;
  • правильное определение объема.

Табличное представление результатов

• где N – объем выборки, k – количество вариант (k≤N).

Пример:

20 студентов получили следующие оценки по тесту: 61 62 63 63 69 72 72 76 76 77 78 78 81 83 85 85 85 86 93 97 Таблица частот

Гистограмма

Параметры распределения

• главная тенденция (среднее, мода, медиана)
• разброс (дисперсия, стандартное отклонение, размах вариации, коэффициент вариации)
• асимметрия
• эксцесс
• модальность

Асимметрия

отрицательная положительная нулевая асимметрия асимметрия асимметрия

Эксцесс, модальность

Отрицательный Положительный Бимодальное эксцесс эксцесс распределение

Среднее значение

Сумма значений признака для всех элементов совокупности, деленная на число элементов совокупности.

• Медиана (Ме) – это значение признака, которое делит распределение пополам: половина значений будет больше медианы, половина – меньше.
• Процентиль – значение признака, который делит распределение на соответствующие доли (25%, 75% и т.д.)
• Мода (Мо) – это наиболее часто встречающееся значение признака, т.е. значение признака, наиболее характерное для данной совокупности.

Показатели разброса

• Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значением признака.
• Дисперсия - средний квадрат отклонения от среднего:

• Стандартное (среднеквадратическое) отклонение:
• Коэффициент вариации (в однородной совокупности не превышает 33%):

Нормальное (гауссово) распределение

• Плотность распределения:
• Полностью определяется:
  • средним значением μ (положение кривой распределения и место ее максимума);
  • стандартным отклонением σ (форма кривой).

Правило «трех сигма»

• При отклонении распределения от нормального лучше использовать медиану, моду и процентили
• Соответствие между процентилями и числом стандартных отклонений (для проверки распределения на нормальность:

Расположение моды медианы и среднего в разных распределениях

Нормальное Положительное Отрицательное распределение смещение смещение

Выборочные оценки параметров распределения

• Выборочное среднее:
• Выборочное стандартное отклонение:
• Стандартная ошибка среднего:

Критерии значимости

• Нулевая гипотеза (Н0): исследуемые факторы не оказывают никакого влияния на исследуемый параметр; между сравниваемыми группами нет различий
• Альтернативная гипотеза (Н1): определяется формулировкой задачи
• Критическая величина: получают из набора статистических таблиц

• Проверку гипотез осуществляют на основании результатов выборки.
• Если статистика критерия превышает критическую величину:
  • нулевая гипотеза отклоняется;
  • различия признаются статистически значимыми.

Сочетания объективного состояния гипотезы и субъективных действий:

• Вероятность ошибки первого рода равна α - уровень значимости критерия
• Максимальная приемлемая вероятность α=0,05
• Вероятность ошибки второго рода равна β
• Величина 1-β называется мощностью критерия