Параметрические критерии. Критерий Стьюдента. Критерий Стьюдента для множественных сравнений. Поправка Бонферрони

Лекция 2

Параметрические критерии

Критерий Стьюдента

• Условия применения:
• исходная совокупность имеет нормальное распределение;
• выборки извлечены случайным и независимым образом.

Пример

Расчет статистики критерия Стьюдента

• Разность средних:
• Стандартная ошибка разности:

Число степеней свободы: ν=2(n-1) (для выборок одинакового объема) ν=n1+n2-2 (для выборок разного объема)

Объединенная оценка дисперсии

• для выборок одинакового объема:
• для выборок разного объема:

• Двусторонний критерий:
• средние в двух выборках не равны
• Односторонний критерий:
• отличия выявляются только в одну сторону
• или

Процедура применения критерия Стьюдента:

• вычисляем средние значения и выборочные дисперсии;
• находим объединенную оценку дисперсии;
• вычисляем значение t и сравниваем с критическим значением из таблицы в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости;
• Если , то отвергаем нулевую гипотезу и утверждаем, что с уровнем значимости α существуют различия между двумя группами.

Пример

Средняя продолжительность госпитализации 36 больных пиелонефритом, получавших правильное (соответствующее официальным рекомендациям) лечение, составила 4,51 суток, а у 36 больных, получавших неправильное лечение – 6,28 суток. Стандартные отклонения для этих групп составили соответственно 1,98 суток и 2,54 суток. Можно ли считать эти различия случайными? Нулевая гипотеза: группы не отличаются по продолжительности госпитализации (т.е. различия являются случайными).

Объединенная оценка дисперсии:

• ν = 2(n–1) = 2 (36 – 1)= 70
• для α = 0,01 и ν=70 tкрит=2,648 (по двустороннему критерию)
• t>tкрит , значит различия в сроках госпитализации статистически значимы.

Критерий Стьюдента для множественных сравнений

• Эффект множественных сравнений:
• Вероятность ошибиться хотя бы в одном из попарных сравнений в общем случае равна:
• Р=1–(1–0,05)k,
• где k – число парных сравнений.
• критерий Стьюдента может быть использован только для проверки гипотезы о различии средних в двух группах.

Пример Исследование влияния гормонов человека на рост марсиан

• плацебо-тестостерон t=2,39;
• плацебо - эстрадиол t=0,93;
• тестостерон - эстрадиол t=1,34.
• Число степеней свободы составляет 18, t0,05;18=2,101.

Поправка Бонферрони

• Для обеспечения вероятности ошибки первого рода α, в каждом из сравнений необходимо принять уровень значимости α/k, где k – число попарных сравнений
• Например: при трехкратном сравнении уровень значимости в каждом из сравнений должен быть 0,05/3≈0,017
• При сравнении нескольких групп с контрольной уровень значимости в каждом из сравнений равен α/(m-1), где m – количество групп

Критерий Стьюдента для повторных измерений

• Пример: гипотеза о том, что люди выше, когда они в обуви (A), чем когда они босиком (В).
• Среднее значение в выборке А - 167,7 см (стандартное отклонение 12,03).
• Среднее значение в выборке В – 163,7 см (стандартное отклонение 12,17).
• Значение t = 0,89. Для α=0,05 и ν=28 критическое значение t равно 2,05.

?

• Тест Стьюдента не в состоянии определить такой простой факт?
• Разница между двумя группами вызвана простой случайностью?

Здесь только одна выборка D: разность между двумя измерениями

• Среднее значение для D равно 3,93, стандартное отклонение 1,1
• t=13,85; ν=n-1=14 – отвергаем нулевую гипотезу

Пример. Изучение суточного диуреза у 10 человек после приема препарата и у 10 после приема плацебо.

• В первой группе среднее - 1330 мл, стандартное отклонение 353,7 мл, во второй – 1412 мл и 356,1 мл соответственно; t=0,52
• Для разности среднее значение – 82, стандартное отклонение 97,84; t=2,65

Процедура применения критерия Стьюдента для повторных измерений

• Условие применения: нормальное распределение разности между парами значений.
• Вычисляем разность между значениями измерений для каждого субъекта исследования.
• Находим среднее значение и стандартное отклонение для разности.
• Вычисляем значение t и сравниваем с критическим значением из таблицы в зависимости от числа степеней свободы (ν=n-1) и уровня значимости.
• Если , отвергаем нулевую гипотезу и утверждаем, что с уровнем значимости α существуют различия между двумя измерениями.

Дисперсионный анализ

• Предназначен для сравнения двух и более групп;
• каждая выборка независима от остальных выборок;
• каждая выборка случайным образом извлечена из исследуемой совокупности;
• совокупность нормально распределена;
• дисперсии всех выборок не сильно отличаются друг от друга.

Дисперсионный анализ для групп одинаковой численности

Две оценки дисперсии совокупности (k – количество групп, n – численность группы) По выборочным По выборочным дисперсиям: средним:

Критерий F

• Межгрупповое число степеней свободы νмеж=k-1
• Внутригрупповое число степеней свободы νвнутр=k(n-1)
• Если рассчитанное F больше, чем табличное для соответствующего числа степеней свободы и уровня значимости, то нулевая гипотеза о равенстве выборочных средних отвергается.

Дисперсионный анализ для групп разной численности

Межгрупповая вариация

Внутригрупповая вариация

Критерий F

Процедура использования дисперсионного анализа

• Вычисляем средние значения и дисперсии в каждой выборке;
• Вычисляем внутригрупповую и межгрупповую вариации и число степеней свободы;
• Вычисляем F;
• Находим критическое значение F по таблице в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости;
• Если рассчитанное F больше табличного, то отвергаем нулевую гипотезу о статистической значимости различий между группами.

Критерий Стьюдента с точки зрения дисперсионного анализа

• Критерий Стьюдента является вариантом дисперсионного анализа в случае сравнения двух групп
• F=t2
• νмеж=k–1=2–1=1
• νвнутр=k(n–1)=2(n–1)