Составление узловых и контурных уравнений цепи, используя топологические матрицы. Определение токов во всех ветвях цепи. Определение показаний вольтметров

1. Составить узловые и контурные уравнения цепи используя топологические матрицы. Записать те же уравнения непосредственно по схеме.

2. Определить токи во всех ветвях цепи наиболее эффективным для рассматриваемого случая методом, обосновав его выбор

3. Определить показания вольтметров.

4. Проверить баланс мощностей.

5. Рассчитать потенциалы во всех точках соединения элементов. Построить потенциальную диаграмму.

6. Методом эквивалентного источника определить ток ветви с резистором R₁. Токи холостого хода эквивалентного источника ЭДС или токи короткого замыкания эквивалентного источника тока вычислить с помощью метода, отличного от использованного в п.2.

Электрическая схема:                                Входные данные:

Рисунок 1

J0 = 12 А G0 = 0,3 См Е1 = 90 В Е2 = 100 В Е3 = 60 В Е4 = 120 В R1 = 25 Ом R2 = 9 Ом R3 = 7 Ом R4 = 16 Ом R5 = 6 Ом R6 = 18 Ом

1. Составить узловые и контурные уравнения цепи используя топологические матрицы. Записать те же уравнения непосредственно по схеме.

        Рисунок 2                                                                             Рисунок 3

Задавшись направлениями токов на рис.2, на рис.3 построим граф электрической схемы.

Составим матрицу соединений :

	1	2	3	5	6	0
1	0	0	-1	0	1	1
2	1	1	0	0	0	-1
3	-1	0	0	1	-1	0
4	0	-1	1	-1	0	0

								I1
	0	0	-1	0	1	1		I2				1:	-I3 + I6 + I0 = 0
	1	1	0	0	0	-1		I3				2:	I1 + I2 – I0 = 0
	-1	0	0	1	-1	0	х	I5	= 0			3:	-I1 + I5 – I6 = 0
	0	-1	1	-1	0	0		I6				4:	-I2 + I3 – I5  = 0
								I0

Представим дерево графа и ветви связи на рис.4. Зададим направления обхода в независимых конурах. Составим матрицу контуров «В»

	1	2	3	5	6	0
1	0	1	1	0	0	1
2	1	-1	0	1	0	0
3	-1	0	0	0	1	-1

                       Рисунок 4

								U1
	0	1	1	0	0	1		U2			1:	U2 + U3 + U0 = 0
	1	-1	0	1	0	0	х	U3	= 0		2:	U1 – U2 + U5 = 0
	-1	0	0	0	1	-1		U5			3:	– U1 + U6 – U0 = 0
								U6
								U0

Записать уравнения Кирхгофа непосредственно по схеме.

I закон Кирхгофа для трёх независимых узлов:

1:	-I3 + I6 + I0 = 0
2:	I1 + I2 – I0 = 0
4:	-I2 + I3 – I5  = 0

II закон Кирхгофа для трёх контуров:

1:	-I2R2 – I3R3 – I0/G0 = -E3–E2
2:	- I1R1 + I2R2 – I5R5 = E2–E1
3:	I1R1 + I0/G0 – I6R6 = E1

2. Определить токи во всех ветвях цепи наиболее эффективным для рассматриваемого случая методом, обосновав его выбор

Узловые потенциалы:

Подставим исходные данные в матрицу:

Расчет:

=0,031835

=-0,48596

=-0,49152

=0,259118

Рассчитаем потенциалы точек:

Рассчитаем токи в ветвях:

Выполним проверку по первому закону Кирхгофа:

-I3 + I6 + I0 = -10,752-1,3+12,052=0

I1 + I2 – I0 = 2,657+9,396-12,052=0,001

-I2 + I3 – I5  = -9,396+10,752-1,357=-0,001

Рассчитаем погрешность вычислений:

h=(0/12,052)×100%=0

h=(0,001/12,052)×100%=0,008 %

h=(0,001/10,752)×100%=0,009 %

3. Определить показания вольтметров.

Вольтметр V₁:

I₁R₁ + U_x1 = E₁

U_x1 = E₁ – I₁R₁ = 90 – 2,657×25 = 23,575 B

U_x1 = ф₃ – ф₂ = 15,44 + 8,139 = 23,579 B

Вольтметр V₂:

I₁R₁ – I₆R₆ + I₄R₄ + U_x2= -E₄+ E₁

U_x2= - E₄+ E₁ – I₁R₁  + I₆R₆ – I₄R₄ = -120 + 90 – 2,657×25 – 1,3×18 = -119,825 B

4. Проверить баланс мощностей.

Р_{приёмника} = Р_{источника}

I₁²R₁+I₂²R₂+I₃²R₃+I₅²R₅+I₆²R₆+I_G²×(1/G₀) = E₁I₁+E₂I₂–E₃I₃+I_G*I₀×(1/G₀)

2,657²×25+9,396²×9+10,752²×7+1,357²×6+1,3²×18+12,052²/0,3 =

= 90×2,657+100×9,396+60×10,752+12,052×12/0,3

1821,706 = 1825,899

Рассчитаем погрешность вычислений:

h = [(1821,706-1825,899)/1821,706]*100% = 0,23%

5. Рассчитать потенциалы во всех точках соединения элементов. Построить потенциальную диаграмму.

j_а = 0

j_б = j_а – E₃ = 0 – 60 = -60       

j_в = j_б + I₃R₃ = -60 + 10,752×7 = 15,264

j_г = j_в + I₅R₅ = 15,264 + 1,357×6 = 22,622

j_а = j_г + I₆R₆ = 22,622 – 1,3×18 = -0,778

Потенциальная диаграмма

6. Методом эквивалентного источника определить ток ветви с резистором R₁. Токи холостого хода эквивалентного источника ЭДС или токи короткого замыкания эквивалентного источника тока вычислить с помощью метода, отличного от использованного в п.2.

Найдем сопротивление эквивалентного источника:

Преобразуем схему:

Преобразуем треугольник сопротивлений R2, R3, G0 в звезду R11, R22, R33.

Найдем величину R11, R22 и R33.

Найдем контурные токи:

I_I(R2+R3+1/G0)-I_II(R2+1/G0)=E3+E2+J₀/G₀

-I_I(R2+1/G0)+I_II(R5+R2+1/G0+R6)=-E2- J₀/G₀

I_I(19,333)-I_II(12,333)=200

-I_I(12,333)+I_II(36,333)=-140

I_I= 10,623, А

I_II= -0,436, А

I₅= I_II= -0,436, А

I₂= I_I - I_II  = 10,623+0,436=11,059, А

U+I₅×R5-I₂×R2=E1-E2

U= E1-E2-I₅×R5+I₂×R2

U=90-100-0,436×6+11,059×9=86,915, В

I₁=U/(R_э+R₁)=86,915/(7,798+25)=2,65, А