Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена. Условия однозначности

Тепломассообмен 10

● Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена ● Условия однозначности

К дифференциальному уравнению теплопроводности в жидкости

Методы математической физики

В математической физике изучают явление в бесконечно малом объеме dv за бесконечно малый промежуток времени что позволяет пренебречь величинами 2 порядка малости. Принимаются допущения: тело однородно и изотропно; физические свойства тела в малом объеме dv постоянны; внутренние источники теплоты отсутствуют. По аналогии с дифференциальным уравнением теплопровод- ности в твердом теле, которое было выведено ранее, можно получить дифференциальное уравнение теплопроводности в жидкости (уравнение энергии Фурье – Кирхгофа).

Уравнение теплового баланса

Уравнение теплового баланса: Q = Q1, (1) где Q – изменение внутренней энергии объема dv за время d ; (2) – изменение внутренней энергии объема dv за время ; Q1 – теплота, подведенная (3) конвекцией и теплопроводностью к объему dv за время . По оси х: (4)

Ряд Тейлора

Теплота на входе вдоль оси х: (5) Теплота на выходе вдоль оси х: (6) Если функция в интервале dx непрерывна и дифференцируема, то ее можно разложить в ряд Тейлора: (7) где как величина 2 порядка малости.

Теплота, подведенная теплопроводностью и конвекцией

Подставляя (5), (6), (7) в (4), имеем теплоту, подведенную вдоль оси х к бесконечно малому объему dv за бесконечно малый промежуток времени Аналогично (9) вдоль осей y и z: (10)

(8)

Дивергенция q

После подстановки (2), (3), (8), (9), (10) в (1) получаем: После сокращения на dv, имеем: (11) где

Теплота, подведенная к элементарному объему

Тогда теплота, подведенная к объему dv за время конвекцией и теплопроводностью: (12) где расход массы через единицу сечения в единицу времени, кг/(м2с). Аналогично вдоль оси y: ; и вдоль оси z: .

Производные

Возьмем производные по координатам х, y, z от тепловых потоков: (13) (14) (15)

Общий вид дифференциального уравнения энергии Фурье-Кирхгофа

После подстановки (13), (14), (15) в (11) получим общий вид дифференциального уравнения энергии Фурье-Кирхгофа:

(16)

Дифференциальное уравнение сплошности

В уравнении (16) выражение (17) представляет собой дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности) течения жидкости. Введем обозначение оператора Лапласа: . (18)

Развернутое выражение дифференциального уравнения энергии

С учетом выражений (17) и (18) уравнение энергии примет вид: (19) где энтальпия h = cpt, тогда развернутое уравнение энергии: (20)

Субстанциональная производная

В уравнении (20) выражение в скобках представляет собой полную (субстанциональную) производную от температуры по времени и координатам: (21) где проекции скоростей жидкости на оси координат:

Дифференциальное уравнение энергии Фурье-Кирхгофа

После деления уравнения (20) на , с учетом (21) и обозначения коэффициента температуропроводности жидкости: получаем окончательное выражение дифференциального уравнения энергии: (22)

Частный случай дифференциального уравнения энергии

Частным случаем дифференциального уравнения энергии (22) для твердого тела является дифференциальное уравнение теплопроводности, которое было выведено ранее: .

Дифференциальное уравнение движения жидкости Навье-Стокса

Вывод дифференциального уравнения движения жидкости Навье-Стокса сложен, поэтому оно приводится без вывода: (1) где оператор Гамильтона для давления: Стрелки в уравнении (1) отмечают векторные величины.

Продольное обтекание жидкостью вертикальной пластины

Невозмущенная жидкость

Эпюра скоростей

Эпюра температур

Проекции дифференциального уравнения движения на оси координат

При продольном обтекании вертикальной пластины, когда ось «х» направлена вниз, проекции ускорения на оси координат: gy = gz = 0, тогда gx = g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения. В этом случае (1) проекции уравнения Навье-Стокса (1) (2) на оси координат:

. (3)

Составляющие проекций уравнения движения на оси координат

В левых частях уравнений (2), (3), (4) находятся полные (субстанциональные) производные от скоростей по времени и координатам:

Операторы Лапласа и и уравнение неразрывности

Введем обозначения операторов Лапласа: Дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности): или в (5) векторной (6) форме:

Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена

Итак, конвективный теплообмен описывается системой дифферен- циальных уравнений: Чтобы из бесконечного множества процессов, описываемых системой уравнений (7), выделить конкретный процесс, надо добавить условия однозначности.

(7)

Условия однозначности

● Геометрические условия: вертикальная плоскость длиной ● Физические условия: величины постоянные, берутся при определяющей температуре. Чаще всего ей является средняя температура жидкости . ● Начальные условия: при ● Граничные условия I рода: при

(8)

Три вида величин

В системе дифференциальных уравнений и условиях однозначности есть три вида величин: независимые переменные – постоянные величины – зависимые переменные – Общие решения системы уравнений (7) с граничными условиями