Теплота, отданная пластиной при охлаждении. Охлаждение (нагревание) бесконечно длинного цилиндра

Тепломассообмен

Внутренняя задача

• Частные случай (А):

(практически:

то есть очень интенсивное наружное охлаждение, поэтому температура поверхности пластины, погруженной в жидкость, сразу становится равной температуре жидкости. Распределение температур в пластине зависит от ее теплопроводности

и геометрических размеров

(внутренняя задача).

Внутренняя задача (а) Внешняя задача (б)

• (а)

• (б)

Внешняя задача

• Частный случай (В):

(практически:

значительный.

Из-за высокого коэффициента теплопроводности пластины температуры в ней быстро выравниваются, а охлаждение слабое и все зависит от наружного коэффициента конвективной теплоотдачи

(внешняя задача).

Средний случай

• Частный случай (С):

Интенсивность охлаждения зависит и от внутреннего термического сопротивления и от внешнего -

Распределение температур в пластине для этого случая показано на следующем слайде. Из уравнения (13) следует, что для любого момента времени

Распределение температур имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины (Х=0). Касательные к кривым в точках проходят через точки +А и –А на расстоянии

и тангенс угла наклона этих касательных:

(см. след. слайд).

Температурное поле в пластине

Теплота, отданная пластиной при охлаждении

Теплота, отданная жидкости с обеих сторон пластины за время от до равна изменению ее внутренней энергии, Дж:

(20)

где объем пластины,

масса пластины, кг.

Тогда за любой промежуток времени от до

внутренняя энергия пластины изменится на, Дж:

(21)

Средняя по толщине пластины безразмерная избыточная температура

(22)

где

• или

средняя по

толщине пластины безразмерная избыточная температура в момент времени

В соответствии с «теоремой о среднем»

средняя безразмерная температура пластины найдется как:

(23)

где

- по уравнению (13), тогда при можно

ограничиться только первым членом ряда, то есть:

(24)

Охлаждение (нагревание) бесконечно длинного цилиндра

• Цилиндр радиусом

отдает теплоту окружающей жидкости:

при

Для бесконечного цилиндра .

При этих условиях

дифференциальное уравнение теплопроводности в полярных (цилиндрических) координатах:

Начальные и граничные условия:

(1)

при:

(2)

Числа подобия для охлаждения (нагревания) цилиндра

• Решение в общем виде:

(3)

где безразмерный радиус цилиндра;

число (критерий) Био, который;

представляет собой соотношение конвективной теплоотдачи снаружи и теплопроводности внутри цилиндра;

число Фурье (безразмерное время).

По аналогии с пластиной при

(практически при

степенные ряды становятся настолько быстро сходящимися, что можно ограничиться первым членом ряда

Безразмерные избыточные температуры

• Безразмерные избыточные температуры:
• на оси цилиндра

(4)

на поверхности цилиндра

(5)

Функции табулированы и приведены в

справочниках. По аналогии с бесконечной пластиной зависимости (4) и (5) в логарифмических координатах линейные и по ним можно найти:

или в безразмерном виде по графикам:

Теплота, отданная цилиндром окружающей жидкости

• Теплота, отданная цилиндром за время от

до

равна изменению внутренней энергии цилиндра, Дж:

(6)

а за время от до

(7)

где средняя по цилиндру безразмерная

При избыточная температура в момент времени

(8)

Аналогично есть решение и для охлаждения (нагревания) шара.

Регулярный режим охлаждения (нагревания) тел

• Анализ решений для охлаждения (нагревания) тел разной формы показывает, что все они представляют сумму бесконеч-
• ного ряда, члены которого соответствуют быстро убывающим
• экспоненциальным функциям. Например, для бесконечной
• пластины при

было получено:

(1)

где константа для каждого члена ряда, которая

находится из начальных условий.

Множитель зависит только от координаты Х .

I – неупорядоченная стадия охлаждения

Комплекс является постоянным, положительным вещественным числом:

где

Тогда уравнение (1) запишется в виде:

(2)

Уравнение (2) справедливо для тел разной геометрии, которая учитывается видом множителей

изменение

При малых значениях времени от до

температур зависит от начального распределения температур в теле. В этом случае поле температур будет определяться не только первым, но и последующими членами ряда (2) (I - неупорядоченная стадия процесса охлаждения).

II – я стадия охлаждения – регулярный режим

Но начиная с некоторого момента времени начальные условия

играют второстепенную роль , процесс определяется условиями охлаждения и физическими свойствами тела. Тогда температурное поле достаточно точно описывается первым членом ряда

(II – я стадия охлаждения – регулярный режим, для которого:

(3)

Логарифмируя (3) и опуская индексы, получим:

или

(4)

то есть в полулогарифмических координатах зависимость – прямолинейная.

Регулярный режим охлаждения

III стадия охлаждения – стационарный режим

При длительном охлаждении или

все точки тела принимают одинаковую температуру, равную температуре окружающей жидкости

(III стадия охлаждения -

стационарный режим).

Для регулярного режима после дифференцирования

уравнения (4) имеем:

(5)

то есть относительная скорость изменения температуры равняется константе «m», не зависящей от координат и времени.

m, 1/c – называется темп охлаждения.

Темп охлаждения

• Если есть экспериментальный график изменения избыточной
• температуры тела во времени (см. предыдущий слайд), то темп
• охлаждения в стадии регулярного режима:

(6)

Зависимость темпа охлаждения от физических свойств тела, его геометрии, размеров и условий теплообмена на поверхности можно найти из теплового баланса.

(7)

Изменение внутренней энергии тела:

где средняя по объему избыточная температура.

Теплота (7) отдается от поверхности тела к жидкости:

Первая теорема Кондратьева

(8)

Здесь средняя по поверхности избыточная температура;

средний коэффициент теплоотдачи.

полная

Приравнивая (7) и (8) с учетом, что теплоемкость тела;

коэффициент неравномерности

распределения температуры в теле, имеем, 1/с:

то есть при темп охла-

(9)

ждения однородного и изотропного тела (относительная скорость охлаждения) пропорционален коэффициенту теплоотдачи, поверхности тела и обратно пропор- ционален его теплоемкости

(первая теорема Кондратьева).

Диапазон изменения коэффициента

• Итак, коэффициент неравномерности распределения

температуры в теле из (9):

(10)

Как же он зависит от числа Био?

А)

(практически

- внешняя задача

распределение температур не зависит от геометрических размеров тела и его физических свойств:

В)

(практически

- внутренняя задача

распределение температур зависит только от геометрических размеров тела и его физических свойств. Из-за высокого коэффи- циента теплоотдачи следовательно в общем

будет изменяться от до см.след.слайд!

Зависимость

Вторая теорема Кондратьева

• При

темп охлаждения «m» тела становится

пропорциональным его коэффициенту температуропроводности

(вторая теорема Кондратьева):

(11)

Коэффициент пропорциональности «к» зависит только от

геометрии и размеров тела.

(12)

Для бесконечной пластины:

где половина толщины пластины, тогда с учетом того, что

для бесконечной пластины

тогда при

Регулярные режимы I,II,III родов

• При

(практически из (12) для

то есть откуда:

(13)

коэффициент пропорциональности для бесконечной пластины.

Есть также свои выражения для цилиндра и шара. На основе теории регулярного режима разработаны экспериментальные методы определения коэффициентов теплопроводности и температуропроводности.

При регулярный режим I рода;

при линейной

зависимости регулярный режим II рода;

при периоди-

ческой функции регулярный режим III рода,

где

- частота колебания;

- амплитуда колеб-я темп-ры жидк.

Лучистый теплообмен

• Лучистый теплообмен имеет место в теплотехнике, ракетной

технике, ядерной энергетике, металлургии, гелиотехнике и др.

Тепловое излучение – это передача внутренней энергии излучающего тела путем электромагнитных волн, которые характеризуются длиной волны

Но не все электромагнитные

волны относятся к тепловому излучению.

Тепловыми лучами являются те из них, которые при падении на поверхность превращаются в теплоту.

Таковыми являются видимое излучение (свет) с длиной волны и инфракрасное

Особенности лучистого теплообмена в разных средах

• Большинство твердых и жидких тел имеет сплошной спектр

излучения, то есть испускают энергию всех длин волн от нуля до бесконечности. Но чистые металлы и газы характеризуются выборочным (селективным) излучением, то есть испускают энергию с прерывистым спектром.

В твердых и жидких телах лучистый теплообмен имеет

поверхностный характер, то есть в лучистом теплообмене участвуют лишь тонкие поверхностные слои.

Газы же имеют объемный характер лучистого теплообмена, то есть в нем принимают участие все частицы газа.

Тепловой баланс лучистого теплообмена

Тепловой баланс лучистого теплообмена в абсолютных единицах

• Видимое излучение (свет) относится к тепловым лучам, поэтому

они подчиняются законам оптики (угол падения равен углу отраже- ния), поэтому на предыдущем слайде лучистые тепловые потоки падения, отражения и пропускания соответствуют законам оптики