Случайная величина. Плотность распределения. Функция корреляции. Усреднение по времени. Белый шум и его свойства

Числовые характеристики не зависят от времени, а функция корреляции  только от сдвига.

m(t)=m, D(t)=D, В(t1,t2)=В(τ)

(2) Плотность распределения

Пусть ξ_i(t) – СФ

W_ξi (x) = P{x ≤ ξ_i(t) ≤ x + ∆x};   -∞ ≤ x ≤ ∞ ;  ∆x → 0

Вероятность того, что мгновенные значения функции попадают в заданный интервал.

Связь попадания в интервал одномерной функции во времени:

Одномерная ф-я распределения не отражает скорости изменения процесов во времени.

n-мерная – W(S1,S2,…,Sn,t1,t2,…,tn)для каждого мгновенного значения свое время распределение.

Св-ва:

1)F(-∞)=0 P(x<-∞), 2) F(∞)=1 P(-∞<x<∞), 3)F(x1)<F(x2) x1<x2

4) P(x1<x<x2)= F(x2)-F(x1)

(5-6)Ф-я корреляции выражает степень статистической или вероятностной или случайной взаимосвязи между отдельными значениями СП в различные моменты времени.

1.  Ф-я корреляции – убывающая ф-я. Вероятность того, что значения S(t), S(t+τ) мало отличается др. от др., чем больше τ тем они сильнее будут  отличаться др. от др. (Δτ→∞ В(τ)→0)

2.  Симметрична. S(t)S(t+τ)= S(t)S(t-τ)

3.  B(0)≥B(τ≠0)

4.   

5.

(3)Усреднение по времени

Математическое ожидание – среднее значение множества величин (среднеожидаемое значение)  за время наблюдения Т→∞

Пусть ξ_i(t) – ток, либо напряжение.

Физический смысл математического ожидания в телекоммуникациях – постоянная составляющая тока / напряжения.

Дисперсия – усреднённый квадрат отклонения СФ от среднего.(мера разброса)

Физический смысл дисперсии.

Пусть ξ_i(t) – электрический сигнал (либо ток, либо напряжение)

Тогда D_ξ – это усреднённый квадрат либо тока, либо напряжения.

Таким образом, дисперсия – это мощность переменной составляющей на нагрузку 1 Ом.

Корреляция – отклонение от мат. ожидания.

Показывает меру 2х случайных взаимосвязей.(на сколько изменилось мгновенное значение случайного процесса через время Δt)

(7)Стационарные СП для которых усреднение по ансамблю и времени эквивалентны называются эргодические процессы.

1) Для описания случайного процесса в фиксированный момент времени t_j  используют числовые характеристики, которые называют усреднёнными по множеству: математическое ожидание, дисперсия.

2)

Математическое ожидание – среднее значение множества величин (среднеожидаемое значение)  за время наблюдения Т→∞

Не центрированный СП

(12) Анализируя пару преобразований Фурье, можно сделать вывод, что существует взаимная связь между полосой пропускания канала (диапазоном частот), мощностью сигнала и его функцией корреляции.

Данная взаимосвязь доказана в виде теоремы и представляет собой пару преобразований.

Прямое преобразование.

Обратное преобразование.

G(ω) – энергетический спектр сигнала – распределение мощности по частоте.

B(τ) – функция корреляции сигнала.

С учётом преобразования Эйлера,

cos(ωτ) = (e^jωτ + e^-jωτ)/2

sin(ωτ) = (e^jωτ - e^-jωτ)/2j

Получаем

 Теорема: Спектральная плотность мощности центрированного стационарного СП является преобразованием Фурье от корреляционной функции.

τ – сдвиг от момента отсчёта. Если τ = 0,

Физический смысл. Если τ = 0, то B(τ)=P [Вт]

1)ф-я корреляции явл ОПФ СПМ

2) на f=0 G(0) равен интегралу

3) СПМЕ не отрицательная функция корреляционной функции.

Т.е. В(τ) функция корреляции может быть такой при преобразовании Фурье положительно

(13-14) Связь G(ω) c B(τ) для случая широкополосного сигнала.

В прямоугольнике заключено 100% мощности сигнала.

S□=S_s

Таким образом, получаем связь ширины энергетического спектра с энергетическим спектром широкополосного сигнала.

Для узкополосного сигнала зависимость примет вид.

Взаимосвязь ∆ω_эф и τ₀.

Интервал корреляции – интервал времени τ₀, на котором функция корреляции ещё отлична от нуля. Применяя метод подобного прямоугольника для узкополосных сигналов, учитываем, что

Подставив ∆ω_эф и τ₀ и, учитывая прямое и обратное преобразования Хинчена – Виннера, получим:

Чем шире спектр тем уже интервал корреляции.

(13)детерминированный спектр

Детерминированное – т.е. полностью определенное

Если х(t) случайный сигнал, то необходимо 2 условия:

1.Энергия сигнала (сходится)

Если х(t) стационарно то энергия ∞ (не сходится), то ПФ не существует.

2.выполнение условия Парсеваля:

Реализация случайного сигнала (процесса) х(t).

Информацию об  ансамбле сигнала не возможно.

Спектр не учитывается,                                  - характеризует распределение энергии по оси частот.

- спектральная плотность энергии

Существует когда t конечно.

(15)Белый шум и его свойства.

Представим сигнал, энергетический спектр которого теоретически равномерно распределён по всему спектру. То есть распределение мощности по частоте постоянно.

Функция такого сигнала абсолютно некоррелирована.

G(ω)=N₀

Если БШ не равномерный по оси частот – окрашенный БШ. Если БШ ограниченный по оси частот то он пропущен через