Определение наименьшей из площадей прямоугольных треугольников, описанных вокруг окружности радиуса. Вычисление несобственного интеграла (Решения математических задач)

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2–5 КУРСОВ

1.  На окружности радиуса 1 отмечены 2013 точек. Доказать, что на окружности существует точка, сумма расстояний от которой до отмеченных точек больше 2013.

Решение. Пусть  – отмеченные точки. Возьмем на окружности две диаметрально противоположные точки  и . Тогда

, .

Следовательно, либо , либо .

2.  Для функции  найти .

Решение 1. Обозначим, ,.   Тогда . При любом  имеем

, , . 

.

В этой сумме 2013 слагаемых. При  каждое слагаемое равно -1. Следовательно,  .

Решение 2.  Покажем по индукции, что 

.                                               (1)

При  это так: .  Пусть равенство (1) верно при .  Тогда

, то есть равенство (1) верно и при . По принципу математической индукции равенство верно при всех натуральных . Так как по формуле Тейлора

, то  , а  .

3.  Найти наименьшую из площадей прямоугольных треугольников, описанных вокруг окружности радиуса .

Решение.  Пусть  и катеты описанного прямоугольного треугольника. Тогда  , а гипотенуза равна . По теореме Пифагора  получаем , . 

Площадь треугольника как функция :  .  Так как ,  то   при   и  при  . Поэтому наименьшее значение площади описанного прямоугольного треугольника.

4.  Доказать, что  функция  ограничена в области .

Решение 1. По теореме Коши о среднем , где . Следовательно,  во всех точках  .

Решение 2.  Используя тождественные преобразования, получаем . Так как  в    ,  ,  то .

5.  Вычислить .

Решение  1.

.

Следовательно, .

Решение  2. . Получили интеграл от нечетной функции с симметричными пределами интегрирования. Он равен нулю.

6.  Вычислить .

Решение.  . 

7.  Вычислить несобственный интеграл . Здесь  – целая часть числа  – наибольшее целое число  .

Решение. Если , где  – натуральное число, то .   Поэтому 

.

Сумма геометрического ряда  .

Так как  для    ,   то при  получим .  

В итоге,  .

8.  Решить задачу Коши .

Решение. Преобразуем уравнение:

, , .

Поэтому . Из начальных условий  . Следовательно,

,   .  , ,   , .  Из начальных условий  . Искомое решение имеет вид .  Оно определено на интервале .

9.    Доказать, что дифференциальное уравнение  имеет хотя бы одно решение , стремящееся к нулю при .

Решение. Характеристическое уравнение  имеет корень , а дифференциальное уравнение – решение , стремящееся к нулю при .  

10.   Сходится  ли ряд , где ?

Решение.   .

Ряд   сходится по интегральному признаку. По признаку сравнения сходится и ряд .