Стереометрия. Прямые и плоскости в пространстве. Параллельность. Перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей

Стереометрия

Прямые и плоскости в пространстве. Параллельность. Перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей. Расстояние между точками в пространстве.

Опорные задачи

Пусть A, B, C, D – четыре произвольные точки в пространстве, не лежащие на одной прямой. Доказать, что середины отрезков AB, BC, CD, DA являются вершинами параллелограмма.

Найти геометрическое место середин всевозможных отрезков, концы которых лежат в двух параллельных плоскостях.

Пусть A, B, C, D – четыре точки в пространстве (возможно, не лежащие в одной плоскости). Известно, что AB=BC, CD=DA. Доказать, что прямые AC и BD перпендикулярны.

Существует ли четырехугольная пирамида SABCD, в которой боковые грани  SAB  и SCD перпендикулярны основанию ABCD?

Две пересекающиеся плоскости  и  параллельны некоторой прямой a. Доказать, что линия пересечения плоскостей  и  параллельна прямой a.

Расстояния от концов отрезка до плоскости равны 1 и 3. Чему может быть равно расстояние от середины этого отрезка до плоскости?

Расстояния от вершин треугольника до плоскости равны 5, 6 и 7. Чему может быть равно расстояние от точки пересечения медиан этого треугольника до плоскости?

В тетраэдре ABCD расстояние между серединами ребер AD и BC равно расстоянию между серединами ребер AB и CD. Найти угол между скрещивающимися ребрами тетраэдра.

Найти множество точек, равноудаленных от вершин треугольника ABC.

Известно, что точка М равноудалена от вершин n-угольника. Доказать, что около n-угольника можно описать окружность.

В n-угольной пирамиде все боковые грани образуют одинаковый угол с плоскостью основания. Доказать, что в n-угольник основания можно вписать окружность.

В треугольной пирамиде SABC плоские углы ASB, ASC и BSC – прямые. Доказать, что квадрат площади грани ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней пирамиды.

Вычислительные задачи

В основании пирамиды SABCD лежит четырехугольник ABCD, в котором AB=BC=5, AD=DC=AC=2. Известно, что ребро SB=6, а ребро SD перпендикулярно основанию. Найдите длину ребра SD.

В пирамиде ABCD медиана к стороне AD треугольника ABD равна половине AD. Медиана к стороне CD треугольника BCD равна половине CD. Доказать, что BD перпендикулярна плоскости ABC.

В пирамиде ABCD даны ребра AB=7, BC=8, CD=4. Найти ребро DA, если известно, что прямые AC и BD перпендикулярны.

В пирамиде ABCD даны ребра AC=BC=5, AB=AD=8, BD=4. Найти ребро CD, если известно, что объем пирамиды равен

В пирамиде ABCD ребра AB, BC, CD попарно перпендикулярны. Известно, что BC = 2, а расстояние между серединами ребер AD и BC равно 3. Найдите расстояние между серединами ребер AB и CD.

В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC, боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Точка M выбрана на ребре SC так, что SM = 3MC. Известно, что прямая BM образует угол  с плоскостью ASB, BM= . Найти объем пирамиды SABC.

В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC. Ребра SA и SB перпендикулярны и образуют с плоскостью основания углы в  и  соответственно. Найти расстояние от вершины C до плоскости ASB

В треугольной пирамиде SABC вершина S равноудалена от середин ребер AB, BC и AC, угол ABC – прямой. Известно, что AC=4, SA=, . Найти объем пирамиды SABC.

Все боковые грани четырехугольной пирамиды SABCD наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Площадь основания равна Q , сумма длин противоположных сторон AB  и CD основания равна p, высота пирамиды равна h. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC. Точка M – середина медианы треугольника ABC, проведенной из вершины