Непрерывные функции. Типы разрывов. Непрерывность сложной функции

Глава 3. Непрерывные функции

3.1 Определения.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если .

Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения. а) Вспоминая понятие предела, запишем непрерывность f(x) в точке х₀ в виде

.

б) Так как , то непрерывность в точке х₀ можно записать в виде

.

Отсюда следует важнейшее свойство непрерывной функции: для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предельного перехода

в) Обозначим Dx=x-x₀ (приращение аргумента) и Df=f(x) - f(x₀) (приращение функции). Тогда непрерывность в точке х₀ означает, что , то есть бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.

Ведем обозначения:

, если эти пределы существуют.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀  слева (справа) если f(x₀)=f(x₀ – 0) (f(x₀)=f(x₀+0)). Очевидно, что непрерывность в точке х₀ означает непрерывность слева и справа одновременно.

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества, то есть если

Обратите внимание, где стоит квантор , это важно.

Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке х₀, то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв.

3.2 Типы разрывов.

В. Пусть существуют конечные f(x₀-0) и f(x₀+0), но они не равны друг другу . Тогда говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв I рода или скачок.

График функции f(x) в окрестности точки х₀ имеет в этом случае примерно такой вид:

Величина |f(x₀+0)-f(x₀-0)| называется величиной скачка функции f(x) в точке х₀.

В. Если хотя бы один из пределов  или бесконечен или не существует, то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв второго рода.

Виды графика функции f(x) в окрестности точки х₀ в этом случае гораздо разнообразнее. Некоторые возможные варианты приведены ниже.

3.3 Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f(x)±g(x), f(x)g(x) и  (если g(x₀)¹0) непрерывны в точке х₀.

Доказательство.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀. Это значит, что . Но тогда, по свойствам пределов

Последнее свойство верно, если . <

Пусть  y=f(x), но x, в свою очередь, является функцией некоторого аргумента t: x=j(t). Тогда комбинация y=f(j(t)) называется сложной функцией, или суперпозицией функций f(x) и j(t).

Примеры:

а) y=sin(x), x=e^t  Þ y=sin(e^t)

б) y= e^x , x=sin(t)   Þ y= e^sin(t)

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть функция j(t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=j(t₀). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t₀.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

 непрерывна в точке ,

 непрерывна в точке , или .

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

, что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t₀. <

Обратите внимание на следующие детали:

а) так как x=j(t), то |j(t)-j(t₀)|<d может быть записано