Множества. Вещественные числа. Сравнение множеств по числу элементов. Счетность множества рациональных чисел

ГЛАВА 1. Множества. Вещественные числа

1.1 Множества

Понятие множества является первоначальным математическим понятием, то есть таким понятием, которое можно только показать на примерах. Можно говорить, например, о множестве людей, находящихся в данной аудитории, о множестве четных чисел, о множестве точек отрезка и т.п. Множества мы будем в дальнейшем обозначать большими латинскими буквами, например, A, B,C и т.д. Иногда множества будут задаваться просто перечислением их элементов и для этого будет использоваться запись вида A={a}, где в {…} будут перечисляться элементы множества A. Например, A={a, b, c} есть множество, состоящее из элементов a, b и c.

Обозначение aÎA означает, что элемент a принадлежит множеству A, а обозначение или aÏA означает, что элемент aне принадлежит множеству A. Знаком Æ  будет обозначаться так называемое пустое множество, то есть такое множество, в котором нет ни одного элемента.

1.2 Операции над множествами

1.  Вхождение или включение множеств.

Говорят, что множество А входит во множество В (обозначение АÌВ) или множество В включает множество А (обозначение ВÉА) если из того, что некоторый элемент aÎA следует, что aÎВ  (запись ).

Эту операцию можно пояснить следующим рисунком. Из него видно, что если АÌВ, то множество В шире множества А, то есть содержит бóльшее число элементов.

Если одновременно АÌВ и ВÌА, то означает, что множества А и В совпадают, или равны друг другу (обозначение А=В).

2.  Объединение или сумма множеств.

Множество С называют объединением или сумой множеств А и В (обозначение С=АÈВ) если оно состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В, то есть aÎС означает, что aÎA, или aÎВ или aÎ и А и В одновременно. Это можно записать так: , где знак Ú есть символ логического сложения (читается «или»). Эта операция может быть пояснена следующим рисунком.

Операция  È обладает обычными свойствами:

1) АÈВ= ВÈА;

2) АÈ( ВÈС)=(АÈВ) ÈС.

Для суммы множеств А₁, А₂,…, А_n используют обозначение .

3.  Пересечение или произведение множеств.

Множество С называется пересечением или произведением множеств А и В (обозначается С=АÇВ) если оно состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А и множеству В. Это можно записать так:  где знак Ù есть символ логического умножения (читается «и»). Эта операция может быть пояснена следующим рисунком.

Операция Ç обладает свойствами:

1) АÇВ= ВÇА;  

2) АÇ( ВÇС)=(АÇВ) ÇС.

По отношению друг к другу операции Ç и È обладают следующими свойствами:

1). (АÈВ) ÇС=(АÇС) È(ВÇС)

(сравните с обычным соотношением из алгебры (a+b)c=ac+bc)

2). (АÇВ)ÈС=(АÈС) Ç(ВÈС)

Для пересечения множеств А₁, А₂,…А_n используют символ .

4.  Вычитание или разность множеств.

Множество С называется разностью множеств А и В (обозначается С=А\В), если оно состоит из элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В. (Это можно записать так: ). Данный рисунок поясняет эту операцию.

В дальнейшем нам наиболее часто придется иметь дело с двумя множествами.

N={1, 2, 3, 4, ... } – множество всех целых положительных чисел и

Z={0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, +4, -4, ... } – множество всех целых чисел.

1.3 Сравнение множеств по числу элементов.

Пусть даны два множества: А={a, b, c} и B={a, b,  g}. Спрашивается: в каком множестве больше элементов. Или даны два множества А={a, b, c} и С={1, 2, 3, 4}. Где больше элементов?

Видимо, на этот вопрос ответят все и на дополнительный вопрос: «А как Вы это узнали?» также ответят просто: сосчитали. В множестве А 3 элемента, в множестве В – тоже 3, в множестве С – 4, так что ответ очевиден.

Но вот более сложный вопрос: даны два множества N={1, 2, 3, 4, …} и D={2, 4, 6, 8,…}. В каком множестве больше элементов? И на сам собой напрашивающийся ответ: «конечно, их больше в N. Больше в 2 раза» можно спросить: «А как Вы это узнали? Неужели сосчитали? Но ведь в этих множествах бесконечное число элементов, так что сосчитать Вы никак не могли».

Или: даны 2 отрезка - AB  и  CD:

На каком отрезке больше точек? И на ответ «Конечно, на CD, ведь