9. Белый шум
Page 1
9. Белый шум
-
9.1. Определение белого шума.
-
9.2. Гауссовский белый шум.
-
9.3. Физические источники белого шума.
-
9.4. Коррелированность процессов.
Page 2
9.1. Определение белого шума
-
Стационарный в узком смысле случайный процесс с функ-цией спектральной плотности мощности, равной положи-тельной постоянной величине, называется белым шумом.
-
Название произошло из оптики, белый цвет получается смешиванием волн различных частот видимого диапазона.
-
Обычно в процессе белого шума математическое ожидание равно нулю, m = 0.
-
Так как белый шум стационарный в узком смысле процесс то его автокорреляционная функция зависит от одного аргумента τ;
-
KXX(τ) является четной.
Page 3
9.1. Определение белого шума
-
Функция спектральной плотности KXX(ω) получается из автокорреляционной функции преобразованием Фурье, а поскольку функция KXX(ω) четная, то можно использо-вать косинус-преобразование.
-
Пусть KXX(ω) = c > 0. Обратное преобразование Фурье (или обратное косинус-преобразование) постоянной функции равно δ-функции с коэффициентом c
Page 4
9.1. Определение белого шума
-
Следовательно, белый шум – некоррелированный процесс, случайные величины X(t1) и X(t2) , то есть их корреляция равна нулю (сл. величины линейно независимы) для любых . Распределение случайной величины X(t0) в определении белого шума не уточняется, оно может быть любым.
-
Энергия сигнала пропорциональна интегралу
-
Отсюда следует, что белого шума не существует.
Page 5
9.2. Гауссовский белый шум
-
Рассмотрим стационарный некоррелированный гауссовский процесс.
-
Пусть математическое ожидание процесса a = 0, средне-квадратическое равно σ. Тогда ввиду нулевого математи-ческого ожидания
-
Если σ стремится к бесконечности, то такой гауссовский процесс стремится к белому шуму. Но в реальном при-ложении приходится ограничиться конкретным значени-ем среднеквадратического σ . Положим σ = 10 , и найдем спектральную плотность такого процесса.
Page 6
9.2. Гауссовский белый шум
-
Найти преобразование Фурье функции KXX(τ) гауссовского процесса можно предельным переходом (при ε стремится к 0) преобразования Фурье прямоугольного импульса R(σ2, ε, t) (см. 3.8. Примеры Фурье-преобразований).
В правой части получена функция, которая при ε 0 стремится к спектральной функции плотности KXX(ω) белого шума.
Page 7
9.2. Гауссовский белый шум
-
Графики приближения спектральной плотности, полученной из гауссовского процесса при σ = 10
-
для ε = 1, 0.5, 0.1
Page 8
9.2. Гауссовский белый шум
-
Функция действительно стремится к постоянной, но эта постоянная равна нулю. Тем не менее на ограниченном интервале частот функцию приближенно можно считать ненулевой постоянной.
-
Таким образом, стационарный некоррелированный гаус-совский процесс можно рассматривать как приближение к белому шуму. Это реально используется в практических задачах.
Page 9
9.2. Гауссовский белый шум
-
Применяя свойство эргодичности гауссовского процесса, оценим функции автокорреляции и спектральной плотности по одной реализации объемом n=1000 измерений.
-
График реализации некоррелированного гауссовского процесса при a = 0, σ = 10.
Page 10
9.2. Гауссовский белый шум
-
График оценки функции автокорреляции (статистическая функция автокорреляции ) при n=1000 , a = 0, σ = 10.
Page 11
9.2. Гауссовский белый шум
-
График статистической функции спектральной плотности при n=1000 , a = 0, σ = 10 (интеграл вычислялся методом прямоугольников, красная горизонтальная прямая – среднее значение функции)
Page 12
9.2. Гауссовский белый шум
-
В качестве приближения к белому шуму можно выбирать любой некоррелированный стационарный (достаточно в узком смысле) процесс. Например, можно взять дискретный процесс D(t) с двумя равновероятными состояниями +1 и -1, в моменты t = 0, 1, 2, … процесс принимает одно из этих состояний. (Одна неприятность : если вычислить корреляцию совместного распределения двух таких величин, то окажется, что она не равна нулю).
-
Упражнение. Найти корреляцию совместного распред., характеристики процесса D(t) (математическое ожидание, дисперсию, автокорреляционную функцию, функцию спектральной плотности).
Page 13
9.3. Физические источники белого шума
-
Белый шум, как и δ-функция существует лишь как матема-тическая абстракция. Оба это понятия возникли из при-родных явлений, абстрактное
