Синтез цифровых схем арифметических устройств, выполняющих операции сложения и умножения над числами, представленными в форме с плавающей запятой в двоичной и двоично-четверичной системах счисления

Курсовой проект предполагает синтез цифровых схем арифметических устройств, выполняющих операции сложения и умножения над числами, представленными в форме с плавающей запятой в двоичной и двоично-четверичной системах счисления, в дополнительных кодах.

По исходным данным необходимо разработать и определить:

1.   Алгоритм выполнения операции умножения, для чего потребуется:

Перевести исходные числа из десятичной системы счисления в четверичную;

Представить числа в форме с плавающей запятой;

Произвести умножение чисел согласно заданному алгоритму;

Оценить погрешность вычислений после перевода результата в исходную систему        счисления.

2.   Алгоритм выполнения операции сложения.

3.   Структурную схему устройства, выполняющего сложение и умножение, содержащую узлы для действия над мантисcами и порядками; определить время умножения с учетом временных задержек в комбинационных схемах.

4.   Функциональные схемы основных узлов устройства в заданном логическом базисе. Для этого провести:

Логический синтез комбинационного одноразрядного четверичного сумматора (ОЧС) на    основе составленной таблицы истинности для суммы слагаемых с учетом переноса из младшего разряда, используя при этом карты Карно-Вейча и оценить эффективность минимизации;

Логический синтез одноразрядного четверичного умножителя (ОЧУ) путем минимизации переключательных функций по каждому выходу схемы, используя алгоритм Рота, с последующей оценкой эффективности минимизации;

Логический синтез комбинационной схемы преобразователя множителя(ПМ).

Построить схему ОЧС  в заданном логическом базисе и на мультиплексорах.

Построить схему ОЧУ и ПМ  в заданном логическом базисе.

5.   Время умножения на один разряд и на n разрядов множителя.

2. Исходные данные

Для синтеза устройства, выполняющего операцию сложения и умножения двоично-четверичных чисел в форме с плавающей запятой в дополнительных кодах, были получены следующие исходные данные:

1.   Исходные операнды – десятичные числа с целой и дробной частью, над которыми производится операция умножения: Мн=28,69, Мт=21,59.

2.   Алгоритм выполнения операции умножения ¾ “Б”, (умножение начинается с младших разрядов множителя со сдвигом частичных произведений вправо).

3.   Метод ускоренного умножения : умножение закодированного двоично-четверичного множимого на 2 разряда двоичного множителя одновременно в прямых кодах.

4.   Кодирование четверичных цифр двоичными эквивалентами:

0₄ ® 01; 1₄ ® 10; 2₄ ® 11; 3₄ ® 00

5.   Логический базис для реализации ОЧС:

Логический базис для реализации ОЧУ:

3. Разработка алгоритма умножения

1.   Переведем сомножители из десятичной системы счисления в четверичную:

МНОЖИМОЕ

Мн₁₀ ® Мн₄

28	4				0,69
28	7	4			4
0	4	1			2,76
	3				4
					3,04
					4
					0,16

Мн₁₀=28,69    Мн₄=130,230             Мн_{2 / 4}= 10 00 01 , 11 00 01

МНОЖИТЕЛЬ

Мт₁₀ ® Мт₄

21	4				0,59
20	5	4			4
1	4	1			2,36
	1				4
					1,44
					4
					1,72

Мт₁₀=21,59    Мт₄=111,211              Мт_{2 / 4}=01 01 01, 10 01 01

2.   Представим сомножители в форме с плавающей запятой:

Мн      = 0, 10 00 01 11 00 01          P_мн =0. 01 00    +03₁₀ закодирован по заданию 

Мт      = 0, 01 01 01 10 01 01           P_мт =0. 00 11    +03₁₀ закодирован традиционно

3.   Порядок произведения равен сумме порядков множителей:

Pмн =	0. 01 00		034
	+		+
Pмт =	0. 00 11		034
	0. 10 11		124

Результат закодирован в соответствии с заданием на кодировку множимого.

Знак произведения определяется суммой по модулю два знаков сомножителей, т.е.:

зн Мн Å зн Мн = 0 Å 0 = 0 => знак результата “плюс”.

Для умножения мантисс необходимо предварительно преобразовать множитель. При умножении чисел в дополнительных кодах диада 11 (3₄) заменяется на триаду 

Преобразованный множитель имеет вид : Мт^п₄ = или  Мт^п₂ =

Перемножение мантисс по алгоритму “Б” приведено в таблице :

Четверичная с/с			Двоично-четверичная с/с		Комментарии
0.	000000000000		01.	01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01	S0
0.	000000210120		01.	01 01 01 01 01 01 10 00 01 11 10 01	П1 = Мн
0.	000000210120		01.	01 01 01 01 01 01 10 00 01 11 10 01	S1
0.	000002101200		01.	01 01 01 01 01 10 00 01 11 10 01 01	S1 *41
3.	333333123220		11.	11 11 11 11 11 11 00 10 11 10 10 01	П2 = Мн*(-1)
0.	000001231020		01.	01 01 01 01 01 00 10 11 00 01 10 01	S2
0.	000012310200		01.	01 01 01 01 00 10 11 00 01 10 01 01	S2*41
0.	000000210120		01.	01 01 01 01 01 01 10 00 01 00 10 01	П3 = Мн
0.	000013120320		01.	01 01 01 01 00 11 00 10 01 11 10 01	S3
0.	000131203200		01.	01 01 01 00 11 00 10 01 11 10 01 01	S3*41
0.	000000210120		01.	01 01 01 01 01 01 10 00 01 00 10 01	П4 = Мн
01 01 01 00 11 10 01 00 11 11 10 01	000132013320		01.		S4
01 01 00 11 10 01 00 11 11 10 01 01	001320133200		01.		S4*41
0.	000000210120		01.	01 01 01 01 01 01 10 00 01 00 10 01	П5= Мн
0.	001321003320		01.	01 01 00 11 10 00 01 01 11 11 10 01	S5
0.	013210033200		01.	01 00 11 10 00 01 01 11 11 10 01 01	S5**41
0.	000000000000		01.	01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01	П6 = Мн
0.	013210033200		01.	01 00 11 10 00 01 01 11 11 10 01 01	S6
0.	132100332000		01.	00 11 10 00 01 01 11 11 10 01 01 01	S6*41
0.	000000000000		01.	01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01	П7 = Мн
0.	132100332000		01.	00 11 10 00 01 01 11 11 10 01 01 01	S7

4.   После окончания умножения необходимо оценить погрешность вычислений. Для этого полученное произведение (Мн*Мт₄ = 0,131003320000 P_Мн*Мт4 = 12₄) приводится к нулевому порядку, а затем переводится в десятичную систему счисления:

Мн*Мт₄ = 13100,3320000     P_Мн*Мт = 0;

Мн*Мт₁₀ = 1936, 9681

Результат прямого перемножения операндов дает следующее значение:

Мн*Мт₁₀ = 36,39 * 53,25 = 1937, 7675

Абсолютная погрешность:

∆= 1937,7675 – 1936,9681=0,7994

Относительная погрешность:

Эта погрешность накоплена за счет приближенного перевода из 10 системы счисления в четверичную обоих сомножителей, а также за счет округления полученного результата произведения.

4. Разработка алгоритма сложения.

1. Представим слагаемые в форме с плавающей запятой:

А₄      = 0,210120                          P_А =+03

А_{2 / 4} = 0, 10 00 01 00 10 01        P_А =0. 01 11    закодированы по заданию 

Б₄     = 0,311100                          P_Б =+03  

Б_{2 / 4} = 0, 11 00 00 00 01 01         P_Б =0. 01 11    закодированы по заданию

2. Проведем сравнение порядков. 

PА =	0. 01 11		0.034
	+		+
[PБ]д =	1. 11 00		3.314
	0. 10 10		0.004

3.   Если порядки не равны необходимо произвести сдвиг мантиссы числа А вправо, если порядок этого числа   меньше, или мантиссы числа Б, если его порядок  меньше. Порядок суммы этих чисел равен большему порядку исходных чисел.

В данном случае сдвиг мантиссы не производится. Однако, во избежание переполнения разрядной сетки увеличим порядок обоих чисел:

А₄      = 0,0210120                          P_А =+10

А_{2 / 4} = 0, 01 10 00 01 00 10 01     P_А =0. 00 01    

Б₄     = 0,0311100                          P_Б =+10  

Б_{2 / 4} = 0, 01 11 00 00 00 01 01     P_Б =0. 00 01   

4.  Получим дополнительные коды слагаемых и произведем их сложение:

[А₄]      = 0,0210120                         

[А_{2 / 4}] = 0, 01 10 00 01 00 10 01         

[Б₄]     = 0,0311100                           

[Б_{2 / 4}] = 0, 01 11 00 00 00 01 01       

Четверичная с/с			Двоично-четверичная с/с		Комментарии
0,	0210120		01,	01 10 00 01 00 10 01	А
0,	0311100		01,	01 11 00 00 00 01 01	Б
0,	1121220		01,	00 00 10 00 10 10 01	А+Б

Число (А+Б)₄= 0,1121220  ,а его порядок P_{(А+Б) 4} =+04

Для оценки погрешности сложения полученная сумма  приводится