Теория возмущений. Нестационарная теория возмущений. Представление в базисе не возмущенной задачи

Квантовая теория

Семестр II

Тема

Теория возмущений

Лекция XVIII

Нестационарная теория возмущений

Как меняются состояния со временем?

Представление в базисе не возмущенной задачи

?

I. Представление в базисе невозмущенной задачи

Уравнения в базисе невозмущенной задачи:

Подставляем разложение Ψ(t) по базису:

I. Представление в базисе невозмущенной задачи

Проектируем уравнение на базис Ψn(0) :

I. Представление в базисе невозмущенной задачи

Разложение решения по малому параметру Λ:

Нулевой порядок разложения:

I. Представление в базисе невозмущенной задачи

Следующие порядки разложения:

1

2

3

I. Представление в базисе невозмущенной задачи

Первый порядок разложения:

I. Представление в базисе невозмущенной задачи

Частоты Бора:

II. Теория квантовых переходов

Рассмотрим задачу о вероятности перехода квантовой системы из одного состояния в другое за некоторое время t с момента начала внешнего воздействия на нее внешнего вынуждающего воздействия, изменяющегося со временем. Будем предполагать, что гамильтониан невозмущенной системы есть H0:

II. Теория квантовых переходов

Полный гамильтониан системы со взаимодействием можно представить в виде:

Параметр Λ характеризует интенсивность взаимодействия системы с внешними полями

II. Теория квантовых переходов

Задача состоит в вычислении вероятности Pn->m(t) перехода системы из невозмущенного состояния Ψn(0) с номером n в другое состояние той же невозмущенной системы Ψm(0) . Предполагается, что к моменту измерения нового состояния системы внешнее воздействие закончилось.

II. Теория квантовых переходов

Считая параметр Λ (Λ <<1) малым, искать решение будем в виде разложения по этому параметру.

Волновую функцию системы Ψ(n)(x,t) в момент времени t, при условии: Ψ(n)(x,0) = Ψn (0)(x) разложим в ряд по Λ.

II. Теория квантовых переходов

Процедура вычисления вероятностей:

1

2

3

II. Теория квантовых переходов

Вероятность перехода из невозмущенного состояния можно вычислить с помощью формулы:

II. Теория квантовых переходов

Из начального условия Ψ(n)(x,0) = Ψn (0)(x) следует:

III. Первый порядок теории возмущений

III. Первый порядок теории возмущений

В результате находим:

III. Первый порядок теории возмущений

Для вероятностей перехода (т≠n):

III. Первый порядок теории возмущений

Переход к Фурье-компонентам! Пусть выполнено условие:

Это почти Фурье-преобразование!

III. Первый порядок теории возмущений

III. Первый порядок теории возмущений

Окончательная формула для вероятностей перехода (т≠n):

III. Первый порядок теории возмущений

Основные результаты:

Правила отбора

Как симметрии проявляются в вероятностях перехода?

IV. Правила отбора Общее определение

Правилом отбора называются условия позволяющие установить возможность перехода с одного уровня на другой под действием внешнего возмущения с ненулевой вероятностью. Наличие запрещенных для перехода уровней связано с наличием симметрий в системе.

IV. Правила отбора Пример 1

Пример 1. Рассмотрим заряженный гармонический осциллятор, находящийся во внешнем электрическом поле с напряженностью E(t), изменяющейся со временем

II. Повышающий и понижающий операторы

II. Повышающий и понижающий операторы

IV. Правила отбора Пример 1

IV. Правила отбора Пример 1

IV. Правила отбора Пример 1

Что это за величина?

IV. Правила отбора Пример 1

Теория излучения и поглощения электромагнитного поля

Как атомы излучаю и поглощают?

V. Теория излучения. Общая постановка задачи

Постановка задачи:

V. Теория излучения

Дипольное приближение:

Точная теория:

V. Теория излучения. Дипольное приближение