Функции двух переменных. Свойства функции, непрерывных в ограниченной замкнутой области

ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Вопросы:

1. Основные понятия

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (x; y). Соответствие f, которое каждой паре чисел (x; y) D сопоставляет одно и только одно число , называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R, и записывается в виде или При этом x и y называются независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией).

Множество называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается или .
Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y x и y: Областью определения этой функции является множество .

Функцию , где (x; y) D можно понимать (рассматривать) как функцию точки координатной плоскости . В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается . Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Функции двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке области D в системе координат соответствует точка , где – аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию .

Например, функция имеет областью определения круг и изображается верхней полусферой с центром в точке и радиусом R =1

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.

2. Предел функции

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству называется -окрестностью точки .

Другими словами, -окрестностью точки – это все внутренние точки круга с центром и радиусом

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции при и (или, что то же самое, при ), если для любого существует такое, что для всех и и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

или

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому стремится к (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной по двум направлениям: справа и слева!)
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число , найдется -окрестностью точки ,что во всех ее точках , отличных от , аппликаты соответствующих точек поверхности отличаются от числа А по модулю меньше, чем на .

Функция в точке предела не имеет, т.к. при разных значениях k предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения).

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствами предела функции одной переменной. Это означает, что справедливы утверждения: если функции и определены на множестве D и имеют в точке этого множества пределы А и В соответственно, то и функции
имеют в точке пределы, которые соответственно равны .