Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным:
(1)
Придавая x определённое значение x0, мы получим числовой ряд
который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Если полученный числовой ряд сходится, то точка x0 называется точкой сходимости ряда (1); если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.
Совокупность числовых значений аргумента x, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от x: S=S(x). Определяется она в области сходимости равенством.
Частичная сумма ряда
ПРИМЕР 1. Найти область сходимости ряда
Решение: Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем q=x. Следовательно, этот ряд сходится при ׀x׀ < 1 т.е при всех x Є (-1;1) сумма ряда равна :
ПРИМЕР 2. Исследовать сходимость функционального ряда
Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:
(2)
Так как при любом X Є R имеет место соотношение а ряд с общим членом сходится (обобщённый гармонический ряд), то по признаку сравнения ряд (2) сходится при X Є R. Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех X Є R =(-∞;+∞).
Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, т.е так называемый степенной ряд.
(3)
Действительные (или комплексные) числа a0, a1, a2, …, an ,… .называются коэффициентами ряда (3), X Є R – действительная переменная.
Ряд (3) расположен по степеням x. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням (X – X0), т.е ряд вида
(4)
Где x0 – некоторое постоянное число.
Ряд (4) легко приводится к виду (3), если положить x – x0 = z. Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степенными рядами вида (3)
ТЕМА:
СХОДИМОСТЬ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
План лекции:
Теорема Н. Абеля
Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Свойства степенных рядов
Теорема Н. Абеля
Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.
Теорема 1 (Абель). Если степенной ряд (3) сходится при X = X0 ≠ 0, то он абсолютно сходится при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству ׀x׀<׀x0׀.
По условию ряд сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости .Отсюда следует, что величина oграничена, т.е найдётся такое число М > 0, что для всех n выполняется неравенство
Пусть ׀x׀<׀x0׀, тогда величина и, следовательно,
т.е модуль каждого члена ряда(3) не превосходит соответствующего члена сходящегося (q < 1) ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ׀x׀<׀x0׀ ряд (3) абсолютно сходящийся.
Следствие 1. Если ряд (3) расходится при x = x1, то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству ׀x׀>׀x1׀
Действительно, если допустить сходимость ряда в точке х2, для которой ׀x2׀>׀x1׀, то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых ׀x׀<׀x2׀, и, в частности, в точке х1, что противоречит условию.
Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Из теоремы Абеля следует, что если х0 ≠ 0 есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях x вне этого интервала ряд (3) расходится.
Рис. 1
-R ряд сходится R
ряд сходится О ряд расходится
Интервал и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив ,интервал сходимости можно записать в виде(-R;R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т.е R > 0 – это такое число, что при всех x, для которых ,ряд (3) абсолютно сходится, а при ряд расходится.
В частности, когда ряд (3) сходится лишь в одной точке х0 = 0, то считаем, что R = 0. Если же ряд (3) сходится при всех значениях x Є R (т.е во всех точках числовой оси ), то считаем, что R = ∞.
Отметим, что на концах интервала сходимость (т.е при x = R и при x = - R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.
Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (3) можно поступить следующим образом.
Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда
и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел
По признаку Даламбера ряд сходится, если т.е ряд сходится при тех значениях x, для которых
ряд, составленный из модулей членов ряда (3), расходится при тех значениях х, для которых
Таким образом, для ряда (3) радиус абсолютной сходимости
(1)
Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что
(2)
Замечания
1. Если , то можно убедиться, что ряд (4) абсолютно сходится на всей
