Методы оптимизации в металлургии: Методические указания к выполнению курсовой работы, страница 2

-  методов определения статистической связи между различными величинами (корреляционный, регрессионный и дисперсионный анализов) [1– 4, 6, 8].

Ряд математических методов оптимизации рассматривают в самостоятельной научной дисциплине – «Исследование операций» [5]. Под термином  «Исследование операций» понимают  «применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности». Операцией называется всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели. Операция есть всегда управляемое мероприятие. В состав «Исследование операций» включают следующие проблемы и разделы:

-  выбор решений в условиях неопределенности;

-  многокритериальные задачи исследований операций в рамках системного подхода;

-  линейное программирование;

-  Марковские случайные процессы;

-  теория массового обслуживания;

-  статистическое моделирование случайных процессов (метод Монте-Карло);

-  игровые методы обоснования решений (теория игр).

Рассмотрим на конкретных примерах часто применяемые методы оптимизации [7].

1.1 Оптимизация методом МОНТЕ-КАРЛО

Пусть дана математическая модель связи свойства Y с содержанием компонентов Х₁, Х₂ , Х₃ ,…,Х_n :

                               (1)

Пусть эта модель отражает не оптимизированный процесс, обусловливающий изменение Y в пределах от У₁ до У₂. Каждый из  компонентов (или параметров технологического процесса) изменяется в пределах от Хi min до Х_{i max} ( i = 1, 2, 3,..., n). Требуется найти область  допустимых изменений Х₁, Х₂,...,Х_n,  при которых выходной параметр Y принимал бы оптимальные значения или изменялся в более узком интервале.

Имитационное моделирование начинается с розыгрыша n случайных чисел Ri,  i = 1, 2, 3,..., n (по числу входных параметров Хi), равномерно распределенных в интервале [0,1]. Далее выполняют n линейных преобразований вида:

В результате получаются значения входных параметров Хi, равномерно распределенных в интервале от  Хi min  до  Хi max,  которые  при подстановке в  регрессионное уравнение (1) и дают значение оптимизирующего свойства Y. Если полученное значение Y попадает в определенный интервал, то значения входных параметров, при которых произошло попадание в интервал, запоминаются; в противном случае - отбрасываются.

Попадающими в определенный интервал считаются:   

        если - запомнить Хi;                если Уj > Уmax  и  Уj < Уmin - не запоминать Хi.

Превосходящие определенную величину считаются:

 

если  - запомнить Хi;                                  не запоминать Хi, если Уj < Уmin

Выработка и  запоминание  случайных чисел входных параметров Хi повторяется до тех пор, пока в памяти ЭВМ не накопится заданное число  случайных векторов.  В результате статистической обработки расчетных значений, накопленных в памяти машины, получают гистограммы распределения входных параметров и определяют уровни изменения входных параметров для обеспечения заданного уровня оптимизируемого свойства.

1.1.1 Нахождение максимума целевой функции

методом МОНТЕ-КАРЛО

Рассмотрим реализацию метода Монте-Карло для оптимизации механических свойств алюминиевого сплава [3]. Допустим, что необходимо оптимизировать механические свойства алюминиевого сплава, содержание в котором меди, кремния, марганца и магния в процентах ограничено следующими пределами:

                                                                                   (2)

 

Математические модели механических свойств алюминиевого сплава без термообработки, полученные в результате обработки реализованного плана эксперимента типа 2^4-1,  имеют такой вид [3]:

    (3)

где   σ_в, δ, НВ   - прочность сплава на растяжение, кгс/ см² , относительное удлинение (пластичность), %, твердость сплава по Бринеллю, соответственно;

Z₁, Z₂,  Z₃, Z₄  содержание в сплаве, соответственно, кремния, меди, магния и марганца в кодированном масштабе.