Сглаживание протокола наблюдений. Выбор ложных нулей. Нормальная (Гауссова) случайная величина

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

СГЛАЖИВАНИЕ ПРОТОКОЛА НАБЛЮДЕНИЙ

Если перед нами выборка случайной величины, то протокол наблюдений должен быть «однородным». Иногда это видно «на глаз». Но в сомнительных случаях дело проясняет «сглаживание». Простейшее сглаживание – это сглаживание «скользящими средними» по трем, пяти и более точкам. Соответственно сглаженное значение в точке вычисляют как среднее из трех (пяти) значений:

;       .

Если x_i независимы и представляют одну и ту же случайную величину, и имеют одну и ту же дисперсию, то по теореме сложения дисперсий стандартное отклонение (а, значит, и размах) , сглаженного по трем (пяти) точкам будет соответственно:

;      ;

то есть в 2 – 2,5 раза меньше, и «среднее» поведение x_i будет «виднее».

Для сглаживания протокола из 100 точек x_iпридется вычислить  в точках i = 2, 3, …, 99. Но этих вычислений можно избежать: трёхточечное скользящее среднее легко найти графически.

Рассмотрим фрагмент протокола (рис.1). Известно, что в треугольнике точка пересечения медиан делит их в отношении ( 1/3 ) : ( 2/3 ). Длина вертикальной медианы в треугольнике ( x_i-1 , x_i , x_i+1 ) равна x_i – (x_i-1 + x_i+1) / 2, отсюда ордината точки пересечения медиан равна среднему из трех точек:

=.

Точно так же находим пересечение медиан в следующих треугольниках ( x_i , x_i+1 , x_i+2) и т.д. Треугольник ( x_i+1 , x_i+2 , x _i+3 ) выродился в прямую, поэтому точка  совпадает с x_i+2. Соединив найденные точки, получим линию трехточечного скользящего среднего.

Может случиться, линия  недостаточно гладкая – тогда ее сглаживают повторно тем же способом. Математически повторно сглаженное значение  выражается формулой:

=

=, то есть это средневзвешенное значение по 5 точкам. Если дисперсии всех x_i одинаковы и равныs², то по теореме сложения дисперсий:

=, или чуть хуже, чем расчетное сглаживание по 5 точкам (см. выше).

Рис. 1

Проявление полос размаха

Иногда приходится «проявлять» и полосу размаха. Для этого на протоколе прочерчивают две ломаные линии: одну – по верхним точкам возврата, другую – по нижним. Верхняя точка возврата – точка, которая выше обеих соседних, нижняя точка возврата – точка, которая ниже обеих соседних.

В случае, если эти ломаные имеют большой размах, то их тоже приходится сглаживать аналогичным способом.

После небольшой тренировки графическое сглаживание по трем точкам не составляет особого труда ( 10 – 20 минут на 100 точек ). Точку пересечения медиан в простых треугольниках легко научиться с неплохой точностью ставить «на глаз», прибегая к графическим построениям только в «тяжелых» случаях (очень растянутый тупоугольный треугольник и т.п.).

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ВЫБОР ЛОЖНЫХ НУЛЕЙ

Этот приём, многократно облегчает дальнейшие вычисления числовых характеристик. Суть его в том, что вводятся «условные» переменные (u,v), связанные с исходными переменными (x,y):

x=C_x+h_xu;           y=C_y+h_yv,

где h_x и h_y – длины интервалов группировки;

C_y –  «ложные нули».

C_x – одна из вариант (точки середины интервалов разбивки по х), взятая обычно в «самой гуще». Аналогично выбирается C_y.

Например, для «фонового массива» (см. табл. II.1):

выбор C_x=16.0 конкретизирует переход х®u при h_x= 4.0

x=16.0+4.0u.

Теперь видно:

при u=0 получим середину четвёртого интервала варианту =16.0, при u=-1 получим середину третьего интервала варианту =12.0, при u=1 получим середину пятого интервала варианту =20.0, и вообще изменение u на +1(-1) отвечает переходу к следующей (предыдущей) варианте .

Далее при расчёте числовых характеристик придётся вычислять среднее значение  степеней х (k=1,2,3,4). Операция «осреднения» линейна, поэтому имеет место соотношение

=, а вычислить значительно легче, поскольку u принимают «хорошие» значения 0; 1; 2; и т.д. Впрочем, можно проводить расчёты и в исходных данных.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

НОРМАЛЬНАЯ (ГАУССОВА) СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Х=Ģ(m;s) - зависит от двух параметров m  и s, где m – математическое