Выполнение операций над множествами (объединение, пересечение, разности, дополнения)

Практическая работа №2

Тема: Выполнение операций над множествами (объединение, пересечение, разности, дополнения)

Специальность:    080114  «Экономика и бухгалтерский учет» (по отраслям)

1. Цель работы:  выработать практические навыки работы по выполнению операций над множествами (объединение, пересечение, разности, дополнения)

2. Оборудование, приборы, аппаратура, материалы: методическое пособие

3. Краткие теоретические сведения

Множество- это собрание объектов любой природы.    

Пример. Множество всех станций метро, множество всех букв алфавита, множество всех чисел, множество всех книг, которые когда-то были написаны и т.д.

Множества      обозначаются      заглавными   буквами латинского алфавита : A, B, F, и т.д.  Множество может быть задано двумя способами: перечислением своих элементов и характерным свойством .        

Задание множеств. Определим следующие множества: A={1,2,3,4}, B={“Иван”, “Андрей”}, C= { 5, 10, 15 }. Данные множества  заданы перечислением своих элементов. Их можно задать также характерным свойством. A={x: x-целое число и 1£x£4}; B={x: x- имя одного из сыновей Петра}; C={x: x- целое число и x делится на 5 и 1£x£18}. В последнем случае множество определяется как собрание тех и только тех объектов, которые удовлетворяют данному свойству.    

Про каждый объект  x всегда можно сказать, принадлежит он данному множеству A или нет. В первом случае записывается xÎA и читается как “x принадлежит A”, т.е. x является элементом множества A. Во втором случае используется запись xÏA, которая, таким образом означает, что объект x не является элементом множества A. Например, пусть A={10, 15 } и x=10. Тогда имеем xÎA. Если же x=12, то выполняется соотношение xÏA. При выяснении вопроса принадлежит или нет данный объект некоторому множеству, может оказаться, что множество задано характерным свойством. Тогда нужно проверить, выполняется или нет свойство для данного объекта. Пусть, например, A={x: x-четно и 1<x<12}, а x=17. Тогда xÏA, так как 17- нечетно. Если x=18, то также xÏA, так как x=18>12, хотя и x является четным числом. Наконец, при x=10 будем иметь, что xÎA, так как все условия в данном случае выполняются. Для удобства рассмотрений вводится одно специальное множество, называемое пустым и обозначаемое символом  Æ. Оно не содержит ни одного элемента.

Между двумя множествами A и B может выполняться отношение включения Í:   AÍBтогда и только тогда, когда каждый элемент множества A является в то же время элементом множества B, т.е. является истинной следующая импликация: (xÎA)Þ(xÎB), а множество A называется подмножеством множества B. Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. одновременно AÍB и BÍA. В этом случае является истинной следующая равносильность (xÎA)Û(xÎB). Наряду со знаком включения “Í” используется также знак “Ì” строгого включения, который означает “включено, но не совпадает”. Если AÌB, то множество A называется собственным подмножеством множества B. Пусть, например, A={1,2,3}, B={1,3}, C={4,5,6}, D={3,2,1}. Тогда BÍA, причем, также и BÌA. Утверждение, что СÍA является неверным. Выполняется отношение DÍA, но отношение DÌA уже не выполняется. Множество всех подмножеств множества X имеет специальное обозначение: P(X) и называется экспонентой множества X, в связи с чем используется также обозначение 2^X. Например, если X={1,2,3}, то P(X)={Æ,{1},{2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}. Важнейшей характеристикой множества является его мощность , т.е. количество элементов в нем. Мощность множества X обозначается одним из двух возможных способов: как |X| или как card(X).  Например, для множества A из предыдущего примера имеем       |A|=4, что также можно записать в виде card(A)=4,  для множества B имеем     |B|=2. Интересным является тот факт, что для любого множества A выполняется равенство: ½P(A)½=2^½A½. Например, для множества A={1,2,3}, для которого ½A½=3, множество P(A) уже было выписано нами ранее и легко видеть, что ½P(A)½=8=2 ³ . Мощность пустого множества равна 0: |Æ|=0. Если BÍA, то |B| £ |A|, если же включение строгое: BÌA, то и неравенство