Линейное пространство. Определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора и исследование оператора по его матрице

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Линейное пространство

2. Определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора и исследование оператора по его матрице

3. Ядро и дефект линейного оператора

4. Образ и ранг линейного оператора

5. Действия с операторами и их матрицами

6. Проблемы и приложения

Заключение

Литература

Введение

Линейный оператор - обобщение понятия линейного преобразования на линейные пространства. Линейным оператором F на линейном пространстве Е называют функцию F(x), определённую для всех х е Е, значения которой суть элементы линейного пространства E₁, и обладающую свойством линейности:

  F((x + (у) = (F(x) + (F(y),

где х и у — любые элементы из Е, х и y — числа. Если пространства Е и E₁ нормированы и величина ограничена, то Л. о. F называют ограниченным, а его нормой. Важнейшими конкретными примерами Л. о. в функциональных пространствах являются дифференциальные Л. о.

  и интегральные Л. о.

  примером Л. о. функций многих переменных может служить Лапласа оператор. Теория Л. о. находит большое применение в различных вопросах математической физики и прикладной математики.

Линейные операторы

Отображение

:D М X → Y называется линейным отображением, или линейным оператором, если "x1, x2 О X и "α О R выполняются следующие условия:

1.   

2.  (x1 + x2) =

3.  (x1) +

4.  (x2) ;

5.   

6.  (αx1) = α

7.  (x1) .

Если

— линейный оператор, то можно опускать скобки и писать y =

x .

Линейные операторы, действующие из X_n в X_n , называют также линейными преобразованиями.

Операторов теория, часть функционального анализа, посвященная изучению свойств операторов и применению их к решению различных задач. Понятие оператора — одно из самых общих математических понятий.

  Примеры:

  1) Отнеся каждому вектору (х₁, х₂, х₃) вектор (х’₁, х’’₂, х’₃) так, что х’_i = a_i1х₁ + a_i2х₂ + a_i3х₃ (i = 1, 2, 3; a_i1, a_i2, a_i3 — фиксированные числа), получим некоторый оператор.

  2) Операция (оператор) дифференцирования D [f (t)] = f’(t) относит каждой дифференцируемой функции f (t) её производную f’ (t).

3) Операция (оператор) определённого интегрирования I = относит каждой интегрируемой функции действительное число.

  4) Отнеся каждой функции f (t)её произведение er(t) f (t) на фиксированную функцию er(t), снова получаем оператор.

  Общая О. т. возникла в результате развития теории интегральных уравнений, решения задач на нахождение собственных функций и собственных значений для дифференциальных операторов и др. разделов классического анализа. О. т. установила тесные связи между этими разделами математики и сыграла важную роль в их дальнейшем развитии. Ещё до возникновения общего понятия оператора операторные методы широко применялись в решении различных типов дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. О. т. представляет собой основной математический аппарат квантовой механики.

  Операторы в линейных пространствах. Чаще всего встречаются операторы, действующие в линейных нормированных пространствах, в частности в функциональных пространствах, т. е. отображения у = А (х) линейного пространства R или его части в некоторое линейное пространство R' (возможно, совпадающее с R). Этот класс операторов охватывает такие важнейшие понятия, как числовые функции, линейные преобразования евклидова пространства, дифференциальные и интегральные операторы и т.д. Наиболее изученными и важными для приложений являются линейные операторы. Оператор называется линейным, если A (ax+by) = aА (х) + bА (у) для любых элементов х, у пространства R и любых чисел a, b. Если пространства R и R' нормированы, а отношение  нормы А (х) к норме х ограничено, то линейный оператор A называется ограниченным, а верхнюю грань отношения  его нормой. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности, т. е. тому, что А (Х_п) * А (х), когда Х_п * х. Оператор дифференцирования (пример 2) представляет собой один из важнейших примеров неограниченного (а следовательно, и не непрерывного) линейного оператора.

Приведённые выше примеры 1—4 представляют собой примеры линейных операторов. Дальнейшие примеры линейных операторов:

  5) Пусть k (s, t ) — непрерывная функция двух переменных, заданная в квадрате a o s o b, а o t o b. Формула

определяет линейный интегральный оператор, называется оператором