Математика \ Математика

Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Колебания с одной степенью свободы

Страницы работы

48 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Фрагмент текста работы

Аналитическая теория дифференциальных уравнений

23.08.2001 18:42 | А.П.Крашенинников, Phys.Web.Ru

Аналитическая теория дифференциальных уравнений - раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в котором решения исследуют методами теории аналитических функций. Поскольку написать решение в явном виде удается лишь для некоторых дифференциальных уравнений, возникла задача исследования различных свойств решений по виду уравнения. В результате появились два направления в исследовании дифференциальных уравнений: аналитическая теория дифференциальных уравнений и теория динамических систем. В аналитической теории дифференциальных уравнений исследуют поведение решений на всей комплексной плоскости, расположение особых точек, поведение решений в их окрестности и т. д. В частности, методами аналитической теории дифференциальных уравнений изучают свойства специальных функций математической физики. Аналитическая теория дифференциальных уравнений существенна для задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, задач гидро- и аэродинамики, теории солитонов и др. Методы и результаты аналитической теории дифференциальных уравнений различны для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений.

Линейная теория. Рассмотрим систему из n уравнений

(1)

где - матрица-функция порядка $n\times n$ с элементами $a_{ik}(z)$ , и скалярное уравнение порядка n

$w^{(n)} + а_1 (z) w^{(n-1)} + ... a_n (z) w = f (z)$ .

(2)

Аналитичность решений. Пусть D - область в комплексной плоскости z, все элементы $a_{ik}(z)$ и функции аналитичны в D. Если область D односвязна, то все решения системы (1) являются однозначными аналитическими в D вектор-функциями, в неодносвязной области решения являются, как правило, многозначными. То же справедливо для уравнения (2).

Особые точки (ОТ) и их классификация. Рассмотрим однородные уравнения, соответствующие (1) и (2):

$w^\prime(z) = A(z)w$ ,

(3)

$w^{(n)}+a_(z)w^{(n-1)}+...+a_n(z)w=0$ .

(4)

Точка z₀ называется ОТ системы (3) или уравнения (4), если она является ОТ для одного из элементов $а_{ik}(z)$ (коэффициенты а_i(z)). Пусть z₀ - полюс, тогда система (3) имеет фундаментальную матрицу вида , где Р - постоянная матрица, матрица-функция разлагается в ряд Лорана $Ф(z)=\sum\limits_{-\infty}^\infty \varphi_k(z-z_0)^k$ , сходящийся в некотором кольце вида $0 \lt | z - z_0 | \lt R$ . ОТ z₀ называется регулярной, если ряд Лорана для содержит конечное число отрицательных степеней , и иррегулярной в противном случае. Это косвенная классификация: она дается в терминах свойств решений, а не коэффициентов системы. Аналогично классифицируются ОТ уравнения (4). Бесконечно удаленная точка $z=\infty$ называется ОТ системы (3), если точка - особая для системы $w_t^\prime=-t^{-2}A(t^{-1})w$ , полученной из (3) заменой переменного $z={\displaystyle 1\over\displaystyle t}$ ; аналогично для уравнения (4). Регулярные особые точки - наиболее простой и хорошо изученный тип ОТ. Точка z₀ является регулярной ОТ уравнения (4) тогда и только тогда, когда

$a_i(z)=(z-z_0)^{-i}p_i(z)$ , где функции аналитичны в точке z₀. Точка $z=\infty$ является регулярной ОТ уравнения (4) тогда и только тогда, когда $a_i (z) = z^{-i}q_i(z)$ , где функции аналитичны в точке $z=\infty$ . Определяющее уравнение в регулярной ОТ z₀ имеет вид

$\rho (\rho -1).. .(\rho -n + 1) +p_1(z_0) \rho (\rho - 1)...(\rho -n+2)+...+p_n (z_0) = 0$ , его корни называются характеристическими показателями в точке z₀. Если ни одна из разностей $\rho_i-\rho_k,\ i\neq k$ , не есть целое число, то уравнение (4) имеет следующую фундаментальную систему решений:

$\displaystyle w_i (z) = (z - z_0)^{\displaystyle\rho_i }\varphi_i(z), \varphi_i(z_0) = 1, 1\leq i\leq n$ , где функции $\varphi_i (z)$ аналитичны в точке z₀. Если среди этих разностей есть целые числа, то решения могут содержать целые степени логарифма ln(z-z₀). Уравнение 2-го порядка с регулярной ОТ z₀ имеет вид

$w^{\prime\prime}+(z-z_0)^{-1}p_1(z)w^\prime+(z-z_0)^{-2}p_2(z)w = 0$ ,

(5)

где функции , аналитичны в точке z₀, определяющее уравнение таково:

$\rho(\rho-1)+\rho p_1(z_0)+p_2(z_0)=0$ .

Если $\rho_1 - \rho_2$ - нецелое число, где $\rho_i$ - характеристические показатели, то уравнение (5) имеет фундаментальую систему решений $\displaystyle w_i(z) = (z - z_0)^{\displaystyle \rho_i}\varphi_i(z)$ , где функции $\varphi_i(z)$ аналитичны в точке z₀, $\varphi_i(z_0)$ = 1. Если $\rho_1 - \rho_2$ есть целое неотрицательное число, то уравнение (5) имеет фундаментальную систему решений

$\displaystyle w_1(z) = (z - z_0)^{\displaystyle \rho_1}\varphi_1(z), \displaystyle w_2(z) = (z - z_0)^{\displaystyle \rho_2}\varphi_2(z)+\theta w_1(z)\ln{(z-z_0)}$ , где $\theta$ - постоянная, функции $\varphi_i(z)$ аналитичны в точке z₀, $\varphi_i(z_0)$ = 1.

Примеры: уравнение Эйри: $w^{\prime\prime} - zw =0, z=\infty$ - иррегулярная ОТ; уравнение Бесселя: $z^2w^{\prime\prime}+zw^{\prime}+(z^2- \gamma^2) w=0, z=0$ - регулярная, $z=\infty$ - иррегулярная ОТ; гипергеометрическое уравнение: $z (1 -z) w^{\prime\prime} + [\gamma - (\alpha+\beta+1)z]w^{\prime} -\alpha\beta w =0$ имеет регулярные ОТ: 0, 1, $\infty$ .

Уравнением класса Фукса называется уравнение (4), все ОТ которого на римановой сфере являются регулярными. Известен общий вид таких уравнений. Все основные дифференциальные уравнения 2-го порядка, возникающие в задачах математической физики, можно получить из уравнения с пятью регулярными независимыми ОТ; при этом разности характеристических показателей в каждой ОТ равны 1/2.

Точка z₀ является регулярной ОТ системы (3), если $A (z) = (z - z_0)^{-1}B(z)$ , где матрица-функция аналитична в точке z₀, $B (z_0)\neq 0$ . Если все разности $\rho_i-\rho_k,\ i\neq k$ , где $\rho_i$ - собственные значения матрицы , не являются целыми числами, то система (3) имеет фундаментальную матрицу вида , где Р - диагональная матрица с элементами $\rho_1,\rho_2,...,\rho_n$ , матрица-функция аналитична в точке z₀ и невырождена. Если среди этих разностей есть целые числа, то фундам. матрица содержит целые степени ln (). Неизвестны необходимые и достаточные условия того, что z₀ - регулярная ОТ системы (3). Система $w^{\prime}=w\sum\limits_{k=0}^m A_k(z-a_k)^{-1}$ , где - различные комплексные числа, - постоянные ненулевые матрицы