Выбор эмпирических формул для анализа нелинейных зависимостей. Преобразование нелинейной зависимости в линейную методом преобразования координат

зависимости от параметра В она определяет параболическую (В > 0), гиперболическую (В < 0) и линейную (В = 0) зависимости;

6) гиперболическая функция: у = А + В/х;

7) дробно-рациональная функция: у=х/(Ах+В).

Для того чтобы выбрать теперь вид аналитической зависимости, которая наилучшим образом соответствует исходным экспериментальным данным, поступим следующим образом. Выполним промежуточные вычисления. Из области определения независимой переменной (мы в § 1 условились, что это будет х_i ) выберем две точки, достаточно надежные и по возможности как можно дальше отстоящие друг от друга. Обозначим их Х₁ и Х₂. Этим точкам соответствуют значения Y₁ и Y₂. Найдем теперь среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое для выбранных точек:

.

Построим график, который, по нашему мнению, наилучшим образом будет соответствовать имеющимся экспериментальным данным. И зная X_AP, X_ГЕОМ и Х_ГАРМ, найдем из графика приближенные Y*_АР, Y*_ГЕОМи Y*_ГАРМ. При построении графика можно использовать метод построения интерполяционной кривой по выбранным точкам [Дорот и др., 1977; Крылов и др., 1972; Троицкий, Иванова 1975] или методы, описанные в §1 главы 7.

Теперь найдем погрешности результатов сравнений:

| Y*_ГEOM - Y_АР | = e₄ ;

                 | Y*_АР- Y_АР| =e₁;          | Y*_ГЕОМ - Y_ГЕОМ | = e₅ ;

                 | Y*_АР - Y_ГЕОМ| = e₂ ;    | Y*_ГАРМ - Y_АР | = e₆ ;

                 | Y*_АР - Y_ГАРМ| = e₃ ;      | Y*_ГАРМ - Y_ГАРМ | = e₇

и выберем e = min { e₁, e₂, ..., e₇ }.

1. Если наименьшим среди всех абсолютных значений окажется e₁ , то в качестве аналитической зависимости для данных точек будет служить линейная функция вида у = =Ах + В.

2. Если наименьшей абсолютной ошибкой является e₂, то в качестве эмпирической зависимости следует выбрать показательную функцию у = АВ^x.

3. Если наименьшая из абсолютных ошибок есть e₃, то искомая эмпирическая зависимость определяется дробно- рациональной функцией вида у = (Ах + В)^-1 .

4. Если наименьшая из абсолютных ошибок есть e₄ , то хорошим приближением будет служить логарифмическая функция у=А ln(х) + В.

5. Если наименьшая абсолютная ошибка окажется e₅, то в качестве эмпирической зависимости рекомендуется выбрать смешанную функцию у = Ах^B .

6. Если наименьшей из абсолютных ошибок окажется e₆, то за искомую зависимость следует выбрать гиперболическую функцию у= А + В/х.

7. Если наименьшая из всех абсолютных ошибок есть e₇, то в качестве зависимости следует выбрать дробно-рациональную функцию вида у = х/(Ах + В).

Для уточнения коэффициентов выбранной аналитической зависимости у = f (х, А, В) воспользуемся, как и в § 1 настоящей главы,  тремя методами.

Метод выбранных точек. На кривой, которую предварительно построим по множеству экспериментальных точек, выберем две произвольные S₁(х₁*, у₁*) и S₂ (х₂*, у₂*). Зная вид зависимости f (х,А,В), составим систему

разрешая которую относительно параметров А и В, находим их числовые значения.

Метод средних. В эмпирическую формулу у = f(х,А, В) подставляем последовательно х_i и получаем у_i, которые будут отклоняться от табличных на e_i = у_i - f(х_i,А,В).Согласно методу средних надо определить так А и В, чтобы e = 0. Для этого вся совокупность значений pазбивается на две группы так, чтобы алгебраическая сумма уклонений в каждой группе равнялась нулю. Таким образом, для определения параметров А и В имеем

откуда получаем из совместного решения системы значения двух параметров А и В.

Метод наименьших квадратов. Согласно этому методу А и В должны быть определены так, чтобы выполнялось условие минимума функции

.

В силу необходимого условия экстремума функции находим частные производные функции F по неизвестным коэффициентам А и В и приравниваем их к нулю, откуда получаем систему

из решения которой находим А и В.

B табл. 7.2 приводятся коэффициенты А и В для всех рассматриваемых здесь видов зависимостей. Эти коэффициенты были получены методом наименьших квадратов.

Для проверки изложенного построим эмпирическую зависимость для некоторой функции, заданной таблично, и, пользуясь рассмотренными методами, уточним коэффициенты найденной зависимости:

В этой работе речь идет об очень простых вычислениях, поэтому программа для выполнения задания не приводится. Однако в случае большого числа N можно воспользоваться процедурами, описанными в п. 1.2.

Для примера рассмотрим упрощенный метод расчета без использования ЭВМ, которым можно воспользоваться для предварительного (грубого) анализа экспериментальных данных.

1. Предположим, что в данном примере крайние табличные значения достаточно надежны. Проведем вспомогательные вычисления, найдем для х₀= 1 и х₈ = 9 средние арифметическое, геометрическое