Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции

220400                                                  Математический анализ                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 7. Непрерывность функции в точке

1.  Непрерывность функции в точке.

2.  Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

3.  Непрерывность обратной функции.

4.  Односторонняя непрерывность.

5.  Точки разрыва и их классификация.

6.  Элементарные функции и их непрерывность.

Литература: Ильин В.А., с.105-127;  Письменный Д., с. 130-135. Ермаков В.И., с.197-202. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с.30-54. 

1.  Непрерывность функции в точке.

Определение 1.  Функция f называется непрерывной в точке a, если она определена в точке a и ее некоторой окрестности и если существует предел этой функции f  при x при x ® a,  и он равен f(a), т.е.

.                                                                         (1)

В силу определений предела это равносильно каждому из следующих утверждений:

1.  ;

2.  Для любой последовательности {x_n}® a при n ® ¥ соответствующая последовательность { f(x_n)} ® f(a)

3.  f(x) = f(a) + a(x), где - бесконечно малая при x ® a..

4.   (левый и правый переделы функции в точке x =a равны f(a).

Определение 2.  Функция f называется непрерывной слева в точке a, если она определена в точке a и  в левой половине некоторой окрестности точки a если левый предел этой функции f  при x ® a-0 существует  и  равен f(a), т.е.

.

Функция f называется непрерывной справа в точке a, если она определена в точке a и  в правой половине некоторой окрестности точки a если правый предел этой функции f  при x ® a+0 существует  и  равен f(a), т.е.

.

Теорема 1. Функция f непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда функция f  непрерывна в точке a слева и справа.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f непрерывна в точке . Тогда по определению 1 для любой числа e > 0 существует такое число d > 0, зависящее от e, d=d(e), что для любого действительного числа xÎD(f), удовлетворяющего неравенству |x - a| < d, выполняется неравенство | f(x) - f(a) | < e. Поэтому для всех xÎD(f), удовлетворяющего неравенству -d <x - a £ 0, выполняется неравенство |f(x) - f(a)| < e. Следовательно,  и по определению 2 функция f непрерывна слева.

Далее для всех xÎD(f), удовлетворяющего неравенству 0 £x - a < d, выполняется неравенство |f(x) - f(a)| < e. Следовательно,  и по определению 2 функция f непрерывна справа.

Достаточность. Пусть функция f  непрерывна слева и справа в точке а. Возьмем любое число e > 0. Так как  , то существует такое число d₁, что для всех xÎD(f), удовлетворяющего неравенству -d <x - a £ 0, выполняется неравенство |f(x) - f(a)| < e. Так как  , то существует такое число d₂, что для всех xÎD(f), удовлетворяющего неравенству 0 £x - a < d, выполняется неравенство |f(x) - f(a)| < e. Полагаем d = min{d₁, d₂}. Тогда из указанных свойств следует, что для любого действительного числа xÎD(f), удовлетворяющего неравенству |x - a| < d, выполняется неравенство | f(x) - f(a) | < e. По определению функция f непрерывна в точке a.

Пусть функция определена в некотором интервале (a, b). Возьмем точки x, x₀Î (a, b). Разность x - x₀ называется приращением аргумента x в точке x₀ и обозначается символом Dx. Отсюда x = x₀ +Dx.

Разность f(x) - f(x₀)соответствующих значений функции называется приращением функции f(x) в точке x₀ и обозначается Dy также или Df или D f(x₀): Dy = f(x) - f(x₀) = f(x₀ +Dx) - f(x₀).

Условия  равносильно тому, что приращение Dy = f(x) - f(x₀) = f(x₀ +Dx) - f(x₀). бесконечно малая функция при x ® a, т. е.при Dx® 0. Получили утверждение.

Теорема 2. Функция f непрерывна в точке x₀  тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращения аргумента Dx в точке x₀ соответствует бесконечно малое приращение функции Dy, т.е.

.

Пример 1. Покажем, что функция y = sin x непрерывна в любой точке x Î R.

Рассмотрим произвольную точку и найдем приращение Dy, соответствующее приращению Dx:

.

Вычислим предел

, так как произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию при Dx ®0 есть бесконечно малая функция при Dx ®0.

2.  Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

Теорема 1. Пусть функции f  и g  непрерывны в точке x₀. Тогда в точке x₀ непрерывны функции;

1)  f + g;

2)  f  - g;

3)  c₁ f + c₁g для всех c₁ Î R;

4)  f g;

5)  f /g, если f(x₀) ¹0.

Доказательство.  Пусть функции f и g непрерывна точке x₀. Тогда они определены в точке x₀ и в некоторой  окрестности точки x₀ . Тогда по свойству предела функции в точке получаем

.

Следовательно, по определении функция f + g непрерывна точке x₀.

Аналогично доказываются остальные утверждения теоремы. 

Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀ , функция g(y) непрерывна в точке y₀= f(x₀). Тогда сложная функция h(x) = g(f(x)) непрерывна в точке x₀.

Доказательство.  Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀ , функция g(y) непрерывна в точке y₀= f(x₀). Тогда функция f(x) определены в точке x₀ и в некоторой  окрестности точки x₀, , функция g(y) определены в точке y₀  и в некоторой  окрестности точки y₀, . По теореме о пределе сложной функции имеем:

.

Следовательно, по определении функция h(x) = g(f(x))  непрерывна точке x₀. 

Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀ ,  f(x₀)¹0. Тогда существует такая d-окрестность точки x₀ , в которой функция сохраняет знак, т.е. для любого x Î( x₀ -d, x₀ +d) имеем f(x₀)f(x)>  0.

Доказательство.  Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀ , f(x₀)¹ 0. Полагаем e = |f(x₀)|. ¹0. Тогда по определению непрерывности существует такое число d > 0, зависящее от e, d=d(e), что для любого действительного числа xÎD(f), удовлетворяющего неравенству |x - x₀| < d, выполняется неравенство | f(x) - f(x₀) | < e. Таким образом  для любого x Î( x₀ -d, x₀ +d)имеем  -e+ f(x₀) < f(x) < e + f(x₀) или -|f(x₀)|+ f(x₀) < f(x) < |f(x₀)| + f(x₀).  Отсюда находим, если f(x₀) > 0, то f(x) > -|f(x₀)| + f(x₀) = -f(x₀) + f(x₀) = 0, если