Сравнения функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке

220400                                                  Математический анализ                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 8. Сравнения функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке

1.  Сравнения функций. Символ о и его свойства.

2.  Символ О и его свойства.

3.  Эквивалентные функции и их применение к отысканию пределов.

4.  Теоремы о промежуточных значениях функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Больцано- Коши).

5.  Теоремы об ограниченности и существовании наибольшего и наименьшего значений функций непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса).

6.  Теорема о равномерной непрерывности функций непрерывных на отрезке

Литература: Ильин В.А., с.105-127;  Письменный Д., с. 130-135. Ермаков В.И., с.199-205. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. , с.90-97. 

1.  Сравнения функций. Символ о-малое и его свойства.

Пусть f(x) и g(x) две бесконечно малые функции при x ® a, где a  - конечная или бесконечная точка. Пусть существует предел

.                                                                        (1)

Определение 1.  Если предел (1) равен 0, то функция  f(x) называется бесконечно малой более высокого порядка чем g(x) при x ®a, а  функция g(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем f(x) при x ® a.

Определение 2.  Если предел (2) конечен и не равен 0, то функции f(x) и g(x) называется бесконечно малыми одного порядка при x ® a.

Теорема 1.  Если предел (1) равен ¥ (±¥), то функция f(x) является бесконечно малой болей низкого порядка  чем g(x) при x ® a, а g(x) функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем f(x) при x ® a.

Доказательство. Если предел (1) равен ¥ (±¥), то функция  является бесконечно большой при x ®a. Тогда по свойству бесконечно малых функция  бесконечно малая при x ®a. Отсюда f(x) является бесконечно малой болей низкого порядка  чем g(x) при x ® a. 

Определение 3.  Если предел (1) равен 0, то пишут так же f(x) = о(g(x)) и говорят, что функция f(x) о-малое ограничена или о-ограничена функцией g(x) при x ® a.

Последнее определение справедливо для любых функций f(x) и g(x) в том числе и для бесконечно больших при x ®a.лишь бы существовал предел (1).

Теорема 2.  1. Если f₁(x) = о(g(x)) при x ® a, f₂(x) = о(g(x)) при x ®a, то f₁(x) ±  f₂(x) = о(g(x)) при x ® a.

2. Если f₁(x) = о(g(x)) при x ® a и функция  f₂(x) ограничена при x ® a , т.е. ограничена в некоторой выколотой окрестности точки