Знакопеременные ряды. Перестановки в рядах, страница 3

Ясно, что  при . В этой точке знак производной меняется с «+» на «–». Значит, при     f(x)  монотонно убывает. По интегральному признаку сходимости (теорема 9), ряд  и интеграл  или оба сходятся, или оба расходятся. Вычислим интеграл, применяя интегрирование по частям:

.

Интеграл сходится; значит, сходится и ряд.

7.  Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Запишем ряд в более удобной форме: . Ряд знакочередующийся, но теорему Лейбница применить нельзя:   т.е. не выполнено условие  lim a_n = 0.Так как это условие является необходимым для сходимости (теорема 3), то ряд расходится.

8.  Исследовать на абсолютную  и условную  сходимость  ряд    .

Решение. Рассмотрим  «ряд из модулей» : . Здесь все слагаемые положительны. Удобнее всего применить признак Коши:

.

Так как предел строго меньше 1, то ряд сходится. Следовательно, ряд   сходится абсолютно.

9.  Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд   .

Решение. «Ряд из модулей»  расходится по признаку сравнения с рядом :      (при ). Применим теорему Лейбница. Необходимое условие сходимости выполнено. Действительно,

.

Здесь мы с помощью правила Лопиталя вычислили предел функции непрерывного аргумента . Из определения предела следует, что тогда и  .

Для применения теоремы Лейбница необходимо ещё убедиться в том, что последовательность  монотонно убывает. Вместо того чтобы доказывать справедливость неравенства , опять рассмотрим функцию непрерывного аргумента  . Вычислим производную:

.

Ясно, что при  x > e²  производная , т.е. функция убывает. Значит, при  последовательность   является убывающей. По теореме Лейбница, знакочередующийся ряд     сходится.

10.   Найти сумму ряда   .

Решение. Ряд сходится – это легко установить, сравнив его (используя предельный признак) с рядом .

Представим каждое слагаемое в виде суммы простейших дробей:

.

Используя это, вычислим частичную сумму  S_n:

.

Переходя к пределу при  ,  найдём сумму ряда:

.

11.   Доказать, что  ,  используя сходимость соответствующего числового ряда.

Решение. Рассмотрим ряд  . Исследуем его с помощью признака  Даламбера:

.

По признаку Даламбера ряд сходится. Значит, для него выполнено необходимое условие сходимости:

.

13.6  Упражнения для самостоятельной работы

1.  Найти общий член ряда, записать ряд с помощью символа .

а)     ;                                 б)   ;

в)   ;                г)   ;

д)  ;   е)   .

2.  Исследовать сходимость рядов с помощью признаков сравнения.

а)   ;                              б)   ; в)    ;                                     г)    ;

д)      ;                                     е)    ;

ж)  ;                                  з)    .

3.  Исследовать сходимость рядов с помощью признака Даламбера или признака Коши.

a)   ;                                        б)     ;

в)  ;                                г)    ;

д)     ;                                    е)    ;

ж)     ;                                            з)   .

4. Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака.

а)   ;                                      б)    ;

в)   ;                    г)    .

5. Исследовать сходимость рядов:

а)   ;                                         б)   ;

в)  ;                                г)    ;

д)   ;                            е)   .

6. Исследовать сходимость рядов, приведённых в упражнении 1 этого раздела.

7. Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:

а)   ;                                   б)   ;

в)  ;                                   г)    ;

д)  ;                               е)    ;

ж)  ;               з)   .

8. Найти сумму ряда:

а)   ;      б)   ;     в)   .

9. Найти приближённо сумму ряда с точностью до  0,01:

а)    ;                    б)   .

10. Рассматривая соответствующие числовые ряды, доказать равенства:

а)   ;                    б)   .

13.7  Образец теста

(для дистанционной формы обучения)

1. Для ряда   предел частичных сумм      1) конечен ;      2)   бесконечен ;     3)  не существует.    Указать номер правильного ответа.

2.  Для ряда     вычислить   .

3. Найти сумму ряда   

4.      Ряд          1)   сходится абсолютно ;     2)  сходится условно, 3)  расходится.   Указать номер правильного ответа.

5. Сколько первых слагаемых нужно сложить, чтобы получить приближённо сумму ряда     с точностью до  e= 0,0001?

6. Сколько рядов из перечисленных ниже являются сходящимся?

 .