Интегралы, зависящие от параметра. Несобственные интегралы с параметром, страница 2

Дифференцирование по параметру иногда можно применять для вычисления интегралов.

Пример 5.   Вычислить       при  a > 1.

Решение. Найдём производную интеграла по параметру а. Легко проверить, что требования теоремы 4 соблюдены, поэтому

.

Применим подстановку t= tgx. Тогда , , . Если х®0,то t®0, если , то t®¥. Продолжаем вычисление:

.

Теперь, вычисляя интеграл, получим:

.

Константу  С найти легко, так как

.

Отсюда:   pln2 + C = 0,т. е.  С= –pln2 . Окончательно получаем:

.

Научимся теперь вычислять производные в случае, если от параметра зависит не только подинтегральная функция, но и пределы интегрирования.

Теорема 5. Пусть f(x,y), непрерывны в прямоугольнике  D= [a,b]´[c,d]; пусть функции    a(y), b(y)  при  yÎ[c, d] дифференцируемы,   причём   a £a(y) £ b,  a£b(y)£b. Тогда

.

Доказательство.  Возьмём произвольную точку  y₀Î[c, d]  и вычислим по определению: .  Но прежде запишем, пользуясь аддитивностью интеграла:

.

Производная 2–го слагаемого вычисляется по теореме 4:

.

Найдём производную 3–го слагаемого:

.

Мы воспользовались теоремой о среднем для определённого интеграла, а затем – непрерывностью  f(x,y)  и дифференцируемостью  b(y).  В точности так же вычисляется и производная 1–го слагаемого:

.

Складывая все 3 слагаемые, получим требуемую формулу (в произвольной точке y₀Î[c, d]).

Пример 6. Найти производную функции  

Решение. Здесь требуется дифференцировать интеграл по параметру х. Действуем по формуле теоремы 5:

.

16.1.3  Интегрирование по параметру.

Теорема 6. Пусть f(x,y) непрерывна в прямоугольнике D= [a,b]´ [c,d]. Рассмотрим  . Тогда

.

Или, что то же самое,

.

Доказательство. Докажем более общее соотношение. Пусть t –произвольная точка отрезка [c, d]. Докажем, что

                                          .                                    (*)

Найдём производную по t от каждой части этого равенства. Применяя теорему 5 (или давно известную нам теорему об интеграле с переменным верхним пределом), получим:

.

В правой части равенства (*) – интеграл, зависящий от параметра t. Дифференцируем его, применяя теорему 4:

.

Одинаковые результаты говорят о том, что функции в левой и правой частях равенства (*) отличаются лишь на константу:    .   Это верно "tÎ[c, d].  В частности, при  t= c  получим:  0= 0 + С,  т.е.  С= 0   и равенство доказано. Если применить его при   t= d,  получим утверждение теоремы.

Пример 7. Вычислить интеграл   .

Решение. Интегрирование в указанном порядке затруднительно:

Пользуясь теоремой 6, изменим порядок интегрирования.

.

Интеграл вычислен. Попутно получено соотношение:

.

Приведём пример, показывающий, что при нарушении непрерывности подинтегральной функции изменение порядка интегрирования может привести к другому результату.

Пример 8. Вычислим интеграл:

При вычислении в другом порядке можно заметить, что если сменить знак подинтегральной функции, то получится уже рассмотренный интеграл:

.

Разные ответы – из–за того, что подинтегральная функция в точке  (0, 0)  имеет разрыв.

16.2 Несобственные интегралы с параметром

Перейдём к изучению несобственных интегралов, зависящих от параметра. Наиболее простая запись такого интеграла – это  по–прежнему

, но здесь либо  b = ¥,  либо функция   f(x, y)   не ограничена в окрестности точки   x = b.  Для краткости будем говорить, что интеграл имеет особенность в точке x = b.  Переменная  y  принимает значения на отрезке  [c, d]  (или на неограниченном промежутке, например, [c,¥)).

При изучении несобственных интегралов вида  мы обращали внимание на их аналогию с числовыми рядами. Аналогичны не только термины («сходится», «расходится»), но и существо дела. Например, признаки сравнения для несобственных интегралов и числовых рядов формулируются и доказываются одинаково. В интегральном признаке сходимости числовых рядов прямо сопоставляются несобственный интеграл и числовой ряд:

.

Похожая ситуация имеет место и для несобственных интегралов, зависящих от параметра. Но здесь аналогия устанавливается не с числовыми, а с функциональными рядами:

.

Функциональные ряды мы изучали в 14 модуле, теперь можно сравнить и сопоставить их свойства со свойствами несобственных интегралов с параметром.

Важным в теории функциональных рядов было понятие равномерной сходимости. Оказывается, и здесь оно играет ключевую роль.

Дадим определения. Интеграл  с особенностью в точке x = b сходится  на [c, d], если "yÎ[c,d] интеграл  сходится, т.е. существует конечный   .

Будем говорить, что    сходится  равномерно  на  [c, d], если