Дифференцирование функций нескольких переменных, страница 4

Дифференцируя повторно, находим частные производные 2–го порядка:

5.  Найти дифференциал 2–го порядка функции   z= 5x²y– 3sinx+ 2cosy в точке  .

Решение.   1 способ – вычисляя частные производные. Находим все частные производные 2–го порядка:

Подставляем в формулу дифференциала 2–го порядка:

.

2 способ   – используя правила вычисления дифференциалов. Сначала вычисляем дифференциал 1–го порядка:

dz= d(5x²y–3sinx+2cosy) = 5d(x²y)–3d(sinx)+2d(cosy) =

= 5(yd(x²)+x²dy)–3cosxdx–2sinydy= 10xydx+5x²dy–3cosxdx–2sinydy.

Теперь вычисляем  d²z,  считая  dx, dy постоянными:

d²z= d(dz) = 10d(xy)dx+5d(x²)dy–3d(cosx)dx–d(2siny)dy=

= 10y(dx)²+10xdxdy+10xdxdy+3sinx(dx)²–2cosy(dy)² =

= (10y+3sinx)(dx)²+20xdxdy–2cosy(dy)².

Подставляя координаты точки, получим ответ:

d²z(P) = 3(dx)²+10pdxdy–2(dy)².

6.  Вычислить приближённо .

Решение.Рассмотрим функцию . В точке x₀=1, y₀=1 значение функции легко вычисляется: . Найдём с помощью дифференциала приращение функции, соответствующее приращениям dx=0,03, dy=–0,05:

.

Следовательно

 .

9.6  Упражнения для самостоятельной работы

1.  Найти и изобразить область определения функции. Является ли она открытым или замкнутым множеством?

а) ;                                                 б)   z= ln(y²– 8x);

в)    ;                                 г)   ;

д)    ;         е) ;

ж)     ;                     з)   .

2.  Вычислить предел или доказать, что он не существует:

а)   ;                                  б)    ;

в)    ;                          г)      ;

д)    ;                                  е)      ;

ж)    ;                         з)    .

3.  Исследовать функции на непрерывность:

а)   z= ln(x²+2y);                                   б)  ;

в)   ;                            г)   ;

д)  ;         е)  .

4.  Найти частные производные 1–го порядка следующих функций:

а)   ;                                            б)  ;

в)   ;                                     г)   z= (2x+3y) sin(2x+y);

д)  ;                                 е)  ;

ж)  f= (x+2z)^y ;                                      з)  .

5.  Найти значения всех частных производных 2–го порядка следующих функций в данной точке P.

а)z= x³+2y³–5x²y²,    P(5, 1);            б)  ,     P(4, 2);

в)   ,      P(0, 1);                    г)  ,      P(–2, 1).

6.  Найти указанные частные производные для данных функций.

а)   z= x³lny+y³lnx,              б)  z= y²(3x²+y+5xy²), 

в)  z= xsin(x+y),                г)   f= e^xyz, 

7.  Найти дифференциалы 1 и 2 порядков следующих функций:

а)z= ln(x–y);                            б)z= xarctgy;

в)  z= 5^xy;                                     г)  f= xy+xz+yz.

8.  Найти дифференциалы 1 и 2 порядков следующих функций в указанной точке P.

а)  z= x³+2x²y+3xy²+4y³,   P(2, 1);         б)  ,   P(2, 2);

в)  ,   ;            г)    ,   P(1, 1, 1).

9.  Вычислить приближённо, заменяя полное приращение соответствующей функции её дифференциалом 1–го порядка. Считать  p» 3,14;   ln2 » 0,69;  .

а)    ;                 б)    ln(3,99²+2,03⁴);                           в)   2,01^2,94;                                    г)   ;        д)  cos59^o×tg46^o;              е)  .

9.7   Образец теста

(для дистанционной формы обучения).

1.  Область определения функции  является 1) ограниченным множеством; 2) открытым множеством; 3) замкнутым множеством; 4) не является множеством ни одного из указанных типов.

Указать номер правильного ответа.

2.  Вычислить .

3.  При каком  C  функция     будет непрерывной на всей плоскости?

4.    Найти    значение   частной  производной  по  переменной    y  функции    z= = ln(cos(x²y))   в точке  .

5.  Найти значение  в точке  (1, 5) ,  если  z= (x+y) arctgx.

6.  Вычислить значение дифференциала 1–го порядка функции   в точке  (5, 2),  если приращения переменных известны:  dx= 0,2,   dy= 0,1.