Дифференцирование функций нескольких переменных, страница 3

Заметим, что смешанные частные производные  оказались одинаковыми. Это не совпадение, справедлива общая теорема, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 14.Если частные производные  k–го  порядка функции  f  непрерывны, то смешанные частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны.

Познакомимся теперь с понятием дифференциала 2–го и более высоких порядков. Пока мы рассматривали дифференциал     в данной точке как линейную функцию от приращений. Другими словами,   – числа (значения частных производных в данной точке),  dx,  dy  – переменные приращения.

Теперь поступим по–другому. Зафиксируем приращения dx, dy, а точку, где вычисляется  df,  будем менять. Тогда дифференциал  df является снова функцией от  x, y. Дифференциал этой функции называется дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом):

Мы воспользовались тем, что, по теореме 14,  .

Если d²f вычисляется в некоторой точке, то частные производные принимают числовые значения, d²f является функцией от приращений. А точнее – второй дифференциал является  квадратичной формой  от приращений  dx,  dy.

Если же приращения dx, dy зафиксировать, а менять точку, то можно перейти к дифференциалу 3–го порядка:

.

С помощью индукции можно получить формулу для дифференциала n–го порядка для функции двух переменных:

, здесь  – биномиальные коэффициенты.

Пример 10.Найти дифференциал  2–го порядка функции  f(x, y)= x²y³–2y²  в точке  P(2, 1).

Решение.     

Следовательно,

.

9.5   Задачи с решениями

1.Найти и изобразить область  D определения функции   . Является ли  D открытым или замкнутым множеством?

Решение.Так как арксинус определён на отрезке  [–1, 1], то в область определения функции  f входят те точки, для которых  .  Для упрощения неравенства нужно рассмотреть 2 случая.

1)  Найдём точки, для которыхy> 0.  Умножая все части неравенства на  y, получим: –y£x£y.  Рассмотрим одно из неравенств: x£y. Заменим знак £ на знак =. Уравнение x= yопределяет прямую линию, разделяющую плоскость на 2 полуплоскости. Одна из них   (на  рисунке  заштрихована)  состоит из точек с условием   x<y,   другая – из точек, для которых    x>y.        Значит     { (x, y) | x£y} – отмеченная на рисунке полуплоскость, включающая ограничивающую её прямую. Аналогично находим полуплоскость   { (x, y) | –y£x}. Так как должны быть выполнены оба неравенства, то следует взять пересечение этих полуплоскостей. Условие  y> 0 показывает, что точка (0,0) не должна включаться в найденную область.

2)  Найдём точки, для которых  y< 0:

.

Аналогично первому случаю, находим нужное множество. Рассматривая объединение полученных множеств, находим искомую область определения D. Точка (0,0) в область определения не входит, хотя и является для неё граничной. Значит,D – не является замкнутым множеством.

Остальные граничные точки – точки прямых y= x, y= –x – входят в D, поэтому D не является и открытым множеством. Заметим также, что D не является ни ограниченным, ни связным множеством.

2.  Вычислить предел , или доказать, что он не существует.

Решение.Разделим числитель и знаменатель на (x–3)²:

.

Числитель стремится к 0, знаменатель не может быть меньше 1, функция   ограничена. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную стремится к 0. Следовательно, предел равен 0.

3.  Исследовать на непрерывность функцию

Решение.Во всех точках, кроме (0,0), функция непрерывна – по теоремам об арифметических свойствах непрерывных функций и о непрерывности сложной функции. Чтобы проверить непрерывность в точке (0,0), вычислим предел:

.

Предел не равен значению:  f(0,0) = 0,  поэтому функция имеет в точке  (0,0)  разрыв.

4.  Найти все частные производные 1 и 2 порядков функции  z= ln(2x+siny).

Решение.Найдём сначала частные производные 1–го порядка. Дифференцируя по одной из переменных, другую рассматриваем как постоянную.