Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений средствами Mathcad и Maple, страница 3

Уравнение первого порядка имеет вид:dy/dx=f(x,y) (1)

Решение уравнения:

Предположим, что правая часть уравнения (1), определена на некотором подмножестве А вещественной плоскости. Функцию у = у(х), определенную в интервале (а,в), мы будем называть решением уравнения (1) в этом интервале, если:

1.  существует производная у’(x) для всех значений х из интервала (а, в). (отсюда следует, что решение представляет собой функцию, непрерывную во всей области определения);

2.  функция у =у(х) обращает уравнение (1) в тождество , справедливое для всех значений х из интервала (а, в) точка (х, у(х)) принадлежит множеству А и y'(x) = f(x,y(x))

Задача Коши.

Одной из важнейших задач теории дифференциальных уравнений, в которой ищется решение данного дифференциального уравнения с дополнительным условием, является задача Коши. Для уравнения (1) задача ставится следующим образом: среди всех решений уравнения (1) найти такое решение у = у(х), в котором функция у(х) принимает заданное числовое значение у₀ при заданном числовом значении х₀ независимой переменной  х, т.е.

у = у₀ при х = х₀ или у(х₀) = у₀.

При этом число у₀ называется начальным значением искомой функции, а число х₀ – начальным значением независимой переменной.

Решение задачи Коши y’= f(x, y), y(x0)=y0 записывается в виде y= y(x,x0,y0).

Краевая задача.

Краевые задачи – задачи, в которых условия, налагаемые на искомое решение, задаются не в одной точке, а на концах некоторого интервала [a, b], и ищется решение, определенное внутри этого интервала. Эти условия называются краевыми (граничными).

Простейшие краевые условия имеют вид: y(a)=A, y(b)=B.

Здесь ищется решение, определенное в интервале [a, b] и принимающее заданные значения на концах этого интервала. Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой, концы которой находятся в заданных точках (a, A), (b, B).

Краевая задача может ставиться для уравнений порядка выше первого.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Совокупность соотношений вида

   F₁(x, y₁, y₂, …,y_n, y’₁, y’₂,…, y’_n) = 0

F₂(x, y₁, y₂, …,y_n, y’₁, y’₂,…, y’_n) = 0

………………………………………

F_n(x, y₁, y₂, …,y_n, y’₁, y’₂,…, y’_n) = 0

Где y₁, y₂, …,y_n  – искомые функции от независимой переменной х, называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенная относительно производных

dy₁/dx = f₁(x, y₁, y₂, …,y_n)  

dy₂/dx = f₂(x, y₁, y₂, …,y_n)

………………………….  

dy_n/dx = f_n(x, y₁, y₂, …,y_n)  

называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Задача  Коши для нормальной системы уравнений.

Задача Коши ставится следующим образом. Среди решений системы требуется найти такое решение у₁=y₁(x), y₂= y₂ (x),…, y_n= y_n (x),в котором функции принимают заданные числовые значения  у₁ ⁽⁰⁾ , y₂ ⁽⁰⁾ , y_n ⁽⁰⁾ при заданном числовом значении х₀ независимой переменной х, т. е.

y₁(х₀)= у₁ ⁽⁰⁾,  y₂ (х₀)= y₂ ⁽⁰⁾,…, y_n(х₀ )= y_n ⁽⁰⁾ .

Механическое истолкование уравнения и его решений

Рассмотрим задачу о движении материальной точки Р по прямой, которую мы принимаем за ось х. Предполагая что скорость движения есть заданная функция f(t, х), зависящая от времени t и от положения х, занимаемого точкой Р в момент времени t, мы получим дифференциальное уравнение dx/dt=f(t, x)  (1*).

Всякое решение x=x(t) (2*) уравнения (1*) представляет собой определенный закон движения и называется просто движением, определяемым этим уравнением. Основной задачей интегрирования уравнения (1*) является нахождение всех движений (2*), определяемых этим уравнением и изучение их свойств.

Численные методы.

·  Метод Рунге – Кутта с переменным шагом.

Наиболее употребительным частным случаем семейства методов Рунге-Кутта является метод Рунге – Кутта четвертого порядка, относящийся к четырехэтапным.