Сопротивление материалов. Раздел "Простые виды деформаций": Курс лекций

Рассмотрим также декартову прямоугольную систему координат , которая получается из системы координат  поворотом ее относительно точки  против хода часовой стрелки на угол  (Рис. 3.3).

Рис. 3.3

Тогда

а осевые моменты инерции сечения  относительно координатных осей равны

Действительно,

Пусть  главные оси инерции сечения . Тогда

Следовательно, главные моменты инерции (моменты инерции относительно главных осей) имеют экстремальные значения по  и

3.4. Моменты инерции простых сечений

Прямоугольник

Рассмотрим прямоугольник высотой  и шириной  (Рис. 3.4).

Рис. 3.4

Введем декартову прямоугольную систему координат  с началом в нижнем левом углу прямоугольника, оси которой параллельны сторонам прямоугольника. Пусть  центр тяжести прямоугольника (точка пересечения его диагоналей). Координаты центра тяжести равны . Введем декартову прямоугольную систему координат , оси которой также параллельны сторонам прямоугольника.

Тогда осевые моменты инерции сечения  относительно координатных осей равны

Действительно,

Круг

Рассмотрим круг диаметром . Введем декартову прямоугольную систему координат , начало которой находится в центре круга. Введем также полярную систему координат  (Рис. 3.5).

Рис. 3.5

Тогда осевые моменты и полярный момент инерции круга относительно осей  и  равны

Действительно,

Кольцо

Введем декартову прямоугольную систему координат , начало которой находится в центре кольца с внешним диаметром  и внутренним диаметром  (Рис. 3.6). Пусть .

Рис. 3.6

Тогда осевые моменты и полярный момент инерции кольца равны

Действительно,

4. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Центральным растяжением (сжатием) называется вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса действует только одна продольная сила, приложенная к центру тяжести сечения. Прямой брус, работающий на растяжение и сжатие, называется стержнем.

Правило знаков. Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение стержня (Рис. 4.1).

Рис. 4.1

Основные гипотезы: гипотеза о ненадавливании продольных волокон, гипотеза плоских сечений Бернулли, принцип Сен-Венана.

4.1. Закон Гука

Рассмотрим центральное растяжение стержня длины l и квадратного поперечного сечения размером ax b. Приложим к концам стержня растягивающую силу F (Рис. 4.2). Тогда длина стержня увеличиться на Δl. Экспериментально показано, что размеры поперечного сечения уменьшаться - соответственно на (-Δa) и (-Δb).

Рис. 4.2

Относительной продольной деформацией стержня называется безразмерная величина равная . Обозначим . Экспериментально показано, что

где  коэффициент Пуассона (безразмерная величина),  относительной поперечной деформация стержня (безразмерная величина).

Пусть  площадь поперечного сечения,  нормальное напряжение.

Закон Гука. В пределах упругих деформаций между нормальным напряжением и относительной продольной деформацией существует прямо пропорциональная зависимость

где  модуль Юнга.

Величина  называется жесткостью поперечного сечения.

Пример 4.1. Пусть стержень длиной  и постоянного поперечного сечения  жестко закреплен одним концом. Найти абсолютное удлинение стержня при растяжении его силой  (Рис. 4.3).

Рис. 4.3

Решение. Из закона Гука следует, что . Откуда получаем формулу Гука

Пусть стержень длины  находится под действием произвольной системы сил. Мысленно выделим в нем бесконечно малый участок dz (Рис. 4.4).

Рис. 4.4

Из формулы Гука следует, что абсолютное удлинение стержня равно

Пример 4.2. Пусть вертикальный однородный стержень длиной  и постоянного поперечного сечения  жестко закреплен верхним концом и растянут своим весом (Рис. 4.5). Пусть погонный вес стержня равен . Найти абсолютное удлинение стержня после деформации.

Рис. 4.5

Решение. Выберем начало координат в точке закрепления стержня. Тогда нормальная сила равна . Следовательно,

Если стержень состоит из  различных участков, то

Если , то

4.2. Статически неопределимые системы

Статически неопределимой системой называется система, в которой внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью только уравнений равновесия статики. Для решения таких задач надо составить уравнения равновесия статики, написать уравнения совместности деформаций и применить закон Гука.

Пример 4.3. Рассмотрим вертикальный стержень, и состоящий из двух участков длиной . Пусть жесткости участков соответственно равны  и  (Рис. 4.6). Приложим в середине стержня силу . Найти реакции опор стержня.

Решение. Обозначим верхнюю и нижнюю реакции опор стержня соответственно через  и . Мысленно отбросим верхнюю опору. Тогда уравнение равновесия стержня имеет вид

Рис. 4.6

Удлинения стержня от силы  и реакции опоры  (формулы Гука для участков